Luogu P3455 [POI2007]ZAP-Queries

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#莫比乌斯反演

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本文介绍了一种解决数学算法竞赛中特定条件下数对计数问题的方法，通过数学推导简化了原始问题，并利用线性筛选Mu函数和数论分块技巧，实现了高效的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定 $n, m, k$ ，求
$∑i=1n∑j=1m[(i,j)=k]\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[(i,j)=k]$

题解

考虑化简，得：
$∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋[(i,j)=1]\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk\rfloor}[(i,j)=1]$
利用中心结论，得：
$∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋∑d∣(i,j)μ(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk\rfloor}\sum\limits_{d|(i,j)}\mu(d)$

$∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋∑d=1(i,j)μ(d)[d∣(i,j)]\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk\rfloor}\sum\limits_{d=1}^{(i,j)}\mu(d)[d|(i,j)]$

$∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋∑d=1(i,j)μ(d)[d∣i][d∣j]\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk\rfloor}\sum\limits_{d=1}^{(i,j)}\mu(d)[d|i][d|j]$

$∵gcd(a,b)⩽min(a,b)\because gcd(a,b) \leqslant min(a,b)$
设答案为

$∑d=1min(⌊nk⌋,⌊mk⌋)pd∗μ(d)。\sum\limits_{d=1}^{min(\lfloor \frac nk\rfloor,\lfloor \frac mk\rfloor)} p_d*\mu(d)。$

我们发现， $p_d$ 等于 $d ∣ i$ 且 $d ∣ j$ 的数的个数。
因此可以转换成如下形式：
$∑d=1min(⌊nk⌋,⌊mk⌋)μ(d)∑i=1⌊nk⌋[d∣i]∑j=1⌊mk⌋[d∣j]\sum\limits_{d=1}^{min(\lfloor \frac nk\rfloor,\lfloor \frac mk\rfloor)}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}[d|i]\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk\rfloor}[d|j]$
后面两个和式可以直接得出：
$∑d=1min(⌊nk⌋,⌊mk⌋)μ(d)⌊nkd⌋⌊mkd⌋\sum\limits_{d=1}^{min(\lfloor \frac nk\rfloor,\lfloor \frac mk\rfloor)}\mu(d)\lfloor\dfrac n{kd}\rfloor\lfloor\dfrac m{kd}\rfloor$
线筛出 $μ\mu$ ，求前缀和，最后数论分块即可。时间复杂度 $Θ(n+Tn)\Theta(n+T\sqrt{n})$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100000
int mu[maxn],p[maxn];
bool vis[maxn];
void euler_mu(int n) {
    int tot=0;
    memset(mu,0,sizeof mu);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        if(!vis[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j) {
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) {
                mu[i*p[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    } for(int i=1;i<=n;i++)//前缀和
        mu[i]+=mu[i-1];
}
int main(){
    int T;
    euler_mu(50000);//线性筛只做一次
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int _n,_m,k,ans=0;
        scanf("%d%d%d",&_n,&_m,&k);
        _n/=k;_m/=k;
        int a=_n,b=_m,n=min(_n,_m);
        int len=min(n,min(a,b));
        for(int l=1,r;l<=len;l=r+1){
            r=min(a/(a/l),b/(b/l));
            if(r>n) r=n;
            ans+=(mu[r]-mu[l-1])*(a/l)*(b/l);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}