图的理解：存储结构与邻接矩阵的Java实现

存储结构

要存储一个图，我们知道图既有结点，又有边，对于有权图来说，每条边上还带有权值。常用的图的存储结构主要有以下二种：

• 邻接矩阵
• 邻接表

邻接矩阵

我们知道，要表示结点，我们可以用一个一维数组来表示，然而对于结点和结点之间的关系，则无法简单地用一维数组来表示了，我们可以用二维数组来表示，也就是一个矩阵形式的表示方法。

我们假设A是这个二维数组，那么A中的一个元素aij不仅体现出了结点vi和结点vj的关系，而且aij的值正可以表示权值的大小。

以下是一个无向图的邻接矩阵表示示例：

从上图我们可以看到，无向图的邻接矩阵是对称矩阵，也一定是对称矩阵。且其左上角到右下角的对角线上值为零（对角线上表示的是相同的结点）
有向图的邻接矩阵是怎样的呢？

对于带权图，aij的值可用来表示权值的大小，上面两张图是不带权的图，因此它们值都是1。

邻接表

我们知道，图的邻接矩阵存储方法用的是一个n*n的矩阵，当这个矩阵是稠密的矩阵（比如说当图是完全图的时候），那么当然选择用邻接矩阵存储方法。
可是如果这个矩阵是一个稀疏的矩阵呢，这个时候邻接表存储结构就是一种更节省空间的存储结构了。
对于上文中的无向图，我们可以用邻接表来表示，如下：

每一个结点后面所接的结点都是它的邻接结点。

邻接矩阵与邻接表的比较

当图中结点数目较小且边较多时，采用邻接矩阵效率更高。
当节点数目远大且边的数目远小于相同结点的完全图的边数时，采用邻接表存储结构更有效率。

邻接矩阵的Java实现

邻接矩阵模型类的类名为AMWGraph.java，能够通过该类构造一个邻接矩阵表示的图，且提供插入结点，插入边，取得某一结点的第一个邻接结点和下一个邻接结点。

模型类

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;

public class AMWGraph {
    private ArrayList vertexList;//存储点的链表
    private int[][] edges;//邻接矩阵，用来存储边
    private int numOfEdges;//边的数目

    public AMWGraph(int n) {
        //初始化矩阵，一维数组，和边的数目
        edges=new int[n][n];
        vertexList=new ArrayList(n);
        numOfEdges=0;
    }

    //得到结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点i的数据
    public Object getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1,v2的权值
    public int getWeight(int v1,int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    //插入结点
    public void insertVertex(Object vertex) {
        vertexList.add(vertexList.size(),vertex);
    }

    //插入边
    public void insertEdge(int v1,int v2,int weight) {
        edges[v1][v2]=weight;
        numOfEdges++;
    }

    //删除结点
    public void deleteEdge(int v1,int v2) {
        edges[v1][v2]=0;
        numOfEdges--;
    }

    //得到第一个邻接结点的下标
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for(int j=0;j<vertexList.size();j++) {
            if (edges[index][j]>0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //根据前一个邻接结点的下标来取得下一个邻接结点
    public int getNextNeighbor(int v1,int v2) {
        for (int j=v2+1;j<vertexList.size();j++) {
            if (edges[v1][j]>0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }
}

测试类

public class TestAMWGraph {
    public static void main(String args[]) {
        int n=4,e=4;//分别代表结点个数和边的数目
        String labels[]={"V1","V1","V3","V4"};//结点的标识
        AMWGraph graph=new AMWGraph(n);
        for(String label:labels) {
            graph.insertVertex(label);//插入结点
        }
        //插入四条边
        graph.insertEdge(0, 1, 2);
        graph.insertEdge(0, 2, 5);
        graph.insertEdge(2, 3, 8);
        graph.insertEdge(3, 0, 7);

        System.out.println("结点个数是："+graph.getNumOfVertex()); // 4
        System.out.println("边的个数是："+graph.getNumOfEdges());  // 4

        graph.deleteEdge(0, 1);//删除<V1,V2>边
        System.out.println("删除<V1,V2>边后...");
        System.out.println("结点个数是："+graph.getNumOfVertex());// 4
        System.out.println("边的个数是："+graph.getNumOfEdges()); // 3
    }
}