插入排序：希尔排序

直接插入排序

直接插入排序是一种最简单的排序方法，基本操作就是将一个记录插到已排序的序列中，从而得到一个新的序列。
就类似于我们平时生活中的打扑克牌，你起手拿到一张牌，然后接下来每拿到一张牌后，比它大则插在右边，比它小插在左右，这样，你手上的牌始终保持着有序。

#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
void insertSort(int *arr, int len)
{
	assert(arr);
	for (int start = 1; start <= len - 1; start++)
	{
		int pos = start;//pos插入数的位置
		int insert = arr[pos];//待排序数
		while (pos > 0 && insert < arr[pos - 1])
		{
			arr[pos] = arr[pos - 1];
			pos--;
		}
		arr[pos] = insert;
	}
}

int main()
{
	int arr[] = { 9, 3, 1, 4, 2, 7, 8, 6, 5 };
	int len = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
	insertSort(arr, len);
	for (int i = 0; i < len; i++)
		printf("%d ", arr[i]);
	system("pause");
}

最优情况下：时间效率为O(n)，直接插入排序的缺点，数组原本接近降序，在这种排升序的方法插入排序，时间复杂度接近$O(n{}^2)$ ，空间复杂度：O(1)，它是一种稳定的排序算法。

优化----加入二分查找

在寻找插入数的位置pos时候，我们是逐个比较查找的，有序数组即已有序，二分查找当然能提升效率。

void insertsort2(int *arr, int len)
{
	assert(arr);
	for (int start = 1; start <= len - 1; start++)
	{
		if (arr[start] < arr[start - 1])
		{
			int left = 0;
			int right = start - 1;
			int insert = arr[start];
			while (left <= right)
			{
				int mid = left + ((right - left) >> 1);
				if (insert < arr[mid])
					right = mid - 1;
				else
					left = mid + 1;
			}

			for (int pos = start; pos>0 && pos>right + 1; pos--)
			{
				arr[pos] = arr[pos - 1];
			}
			arr[right + 1] = insert;
		}
	}
}

希尔排序

希尔排序(Shell’s Sort)顾名思义，是一个叫Shell的人发明的算法。希尔排序又称为”缩小增量排序”，是针对直接插入的一种极端情况的优化。

直接插入排序的时间复杂度是$O(n²)$，但是如果待排序接近有序的话，插入排序的时间复杂度可以达到O(n)，希尔排序的基本思想是将待排序列分成若干个子序列，分别对其采用直接插入，等待排序列基本有序时，在对全体记录进行一次直接插入排序。

void ShellSort(int* arr, int n)//希尔排升序
{
	assert(arr);
	int gap = n;//gap就是增量
	while (gap > 1)
	{
		gap = gap / 3 + 1;//加1是保证最后一次肯定是增量为1的排序
		for (int start = 0; start < n - gap; ++start)
		{
			int pos = start;
			int insert = arr[pos + gap];
			while (pos >= 0 && arr[pos]>insert)
			{
				arr[pos + gap] = arr[pos];
				pos -= gap;
			}
			pos += gap;
			arr[pos] = insert;
		}
	}
}
int main()
{
	int arr[] = { 9, 1, 2, 5, 7, 4, 8, 6, 3, 5 };
	int len = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
	ShellSort(arr, len);
	for (int i = 0; i < len; i++)
		printf("%d ", arr[i]);
	system("pause");
}

希尔排序的特性总结

1. 希尔排序是对直接插入排序的优化。
2. 当gap > 1时都是预排序，目的是让数组更接近于有序。当gap == 1时，数组已经接近有序的了，这样就会很快。
3. 希尔排序的时间复杂度不好计算，需要进行推导，推导出来平均时间复杂度： $O(N{}^{1.3})$~$O(N{}^2)$
4. 稳定性：不稳定