数据结构——树

树（Tree）：n（n>=0）个结点构成的有限集合。
当n=0，称为空树；

一、 对于任何非空树，它具备以下的性质：

• 树中有一个称为“根（Root）”的特殊结点，用r表示；
• 其余的结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的“子树（SubTree）”；
• 子树是不相交的；
• 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点；
• 一棵N个结点的树有N-1条边。

二、树的基本术语

1. 结点的度（Degree）：结点的子树个数。
2. 树的度：树的所有结点中最大的度数。
3. 叶结点（Leaf）：度为0的结点。
4. 父结点（Parent）：有子树的结点是其子树的根结点的父结点。
5. 子结点（Child）：若A结点时B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点；子结点也称孩子结点。
6. 兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点。
7. 路径和路径长度：从结点n1到nk的路径为一个结点序列n1,n2…nk，ni是n(i+1)的父结点。路径所包含的个数为路径的长度。
8. 祖先节点（Ancestor）：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点。
9. 子孙结点（Descendant）：某一结点的子树中的所有结点时这个结点的子孙。
10. 结点的层次（Level）：规定根结点在1层，其他任一结点的层数是其父结点的层数加1。
11. 树的深度（Depth）：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度。

三、树的表示

• 儿子-兄弟表示法
  
  优点：
• 树当中每个结点的结构统一。
• 空间浪费小。

四、二叉树的定义

一个有穷的结点集合。这个集合可以为空；若不为空，则它是由根结点和称为其左子树和右子树的两个不相交的二叉树组成。
（1）二叉树具有的五种基本形态

• 空树
• 只有一个结点
• 一个结点+其左子树
• 一个结点+其右子树
• 一个结点的左右子树都非空

（2）二叉树与其他树（一般树、度为2的树）的区别：二叉树的子树有左右顺序之分。

（3）特殊二叉树

• 斜二叉树（Skewed Binary Tree）：只有左/右儿子。相当于链表。
• 完美二叉树（Perfect Binary Tree）/ 满二叉树（Full Binary Tree）：一个二叉树的层数为k，且结点总数是(2^k) -1。

• 完全二叉树（Complete Binary Tree）：若设二叉树的深度为k，除第 k 层外，其它各层 (1～k-1) 的结点数都达到最大个数，第k 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
  
  （4）二叉树的性质
• 一个二叉树第 i 层的最大结点数为：2^i-1，i >0
• 深度为k的二叉树有最大结点总数为：2^k-1，k>0
• 对任何非空二叉树T，若n₀表示叶结点的个数，n₂表示度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系：n₀=n₂+1。

五、二叉树的储存结构

1. 顺序存储结构
   完全二叉树：按从上至下、从左到右顺序存储n个结点的完全二叉树的结点父子关系。

• 非根结点（序号i>1）的父结点的序号是[i/2];
• 结点（序号为i）的左孩子结点的序号是2i，（若2i<=n,否则没有左孩子）；
• 结点（序号为i）的右孩子结点的序号是2i+1，（若2i+1<=n,否则没有右孩子）；

一般二叉树也可以采用这种结构，但会造成空间浪费。

2. 链表存储

typedef struct TNode *BinTree;
typedef BinTree Position;	//二叉树类型 
struct TNode	//树结点定义 
{
	ElementType Data;	//结点数据 
	BinTree Left;		//指向左子树 
	BinTree Right; 		//指向右子树 
}

六、二叉树的遍历

1.先序遍历

• 访问根结点；
• 先序遍历其左子树；
• 先序遍历其右子树。

void PreOrderTraversal(BinTree BT)
{
	if(BT)		//判断树是否空 
	{
		printf("%d", BT->Data);		//访问根结点 
		PreOrderTraversal(BT->Left);//访问左子树 
		PreOrderTraversal(BT->Right);//访问右子树 
	}
 } 

2.中序遍历

• 中序遍历其左子树
• 访问根结点
• 中序遍历其右子树

void PreOrderTraversal(BinTree BT)
{
	if(BT)		//判断树是否空 
	{
		PreOrderTraversal(BT->Left);//访问左子树 
		printf("%d", BT->Data);		//访问根结点 
		PreOrderTraversal(BT->Right);//访问右子树 
	}
 } 

3.后序遍历

• 后续遍历其左子树
• 后续遍历其右子树
• 访问根结点

void PreOrderTraversal(BinTree BT)
{
	if(BT)		//判断树是否空 
	{
		PreOrderTraversal(BT->Left);//访问左子树 
		PreOrderTraversal(BT->Right);//访问右子树 
		printf("%d", BT->Data);		//访问根结点 
	}
 } 

先序、中序和后序遍历过程：遍历过程中经过结点的路线一样，只是访问各结点的时机不同。

4.二叉树的非递归遍历
（1）中序遍历非递归遍历算法
非递归算法实现的基本思路：使用堆栈

过程：

• 遇到一个结点，就把它压栈，并去遍历它的左子树；
• 当左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点并访问它；
• 然后按其右指针再去中序遍历该结点的右子树。

void InOrderTraversal (BinTree BT)
{
	BinTree T = BT;
	Stack S = CreatStack(MaxSize);//创建并初始化堆栈S
	while(T || !IsEmpty(S))
	{
		while(T)			//一直向左并将沿途结点压入堆栈 
		{
			Push(S,T);
			T = T->Left;
		}
		if(!IsEmpty(S))
		{
			T = Pop(S);		//结点弹出堆栈
			printf("%5d", T->Data);//访问（打印）结点
			T = T->Right;			//转向右子树 
		}
	} 
}

（2）后续遍历非递归算法

void PostorderTraversal( BinTree BT ) 
{     
	BinTree T = BT, P = NULL; /* P上一个已被访问的结点 */     
	Stack S = CreatStack( MaxSize ); /*创建并初始化堆栈S*/     
	while( T || !IsEmpty(S) )/* 树不空或栈不空 */     
	{         
		while(T)/*一直向左并将沿途结点压入堆栈*/ 
		{             
			Push(S,T);/* 结点压栈(第一次遇到结点) */                         
			T = T->Left;/* 一直向左 */         
		}                          
		if( !IsEmpty(S))         
		{                 
			T = Pop(S); /* 先弹出结点 */             
			if(T->Right == P || T->Right == NULL)             
			{   /* 右孩子已访问或右孩子不存在, 弹出结点 */                                         
				printf("%5d", T->Data);  /* 访问结点 */                 
				P = T; /* P指向被访问结点 */                 
				T = NULL; /* 树置空(该树的左\右\根结点已经访问) */             
			}             
			else             
			{                     
				Push(S,T); /* 否则,不应该弹出结点, 结点再次入栈 */                 
				T = T->Right;/* 继续遍历右子树 */                             
			}         
		}     
	}         
}

5.层序遍历
二叉树遍历的核心问题：二维结构的线性化。
（1）队列实现：遍历从根结点开始，首先将根结点入队，然后开始执行循环：结点出队、访问该结点、其左右儿子入队。
层序基本过程：先给节点入队，然后：
①从队列中取出一个元素
②访问该元素所指结点
③若该元素所指结点的左、右孩子结点非空，则将其左、右孩子的指针顺序入队。

void LevelOrderTraversal(BinTree BT)
{
	Queue Q;
	BinTree T;
	if(!BT)
	{
		return;		//若是空树则直接返回 
	}
	Q = CreateQueue(MaxSize);	//创建并初始化队列Q
	AddQ(Q, BT);				//根结点入队 
	while(!IsEmptyQ ( Q ))
	{
		T = Delete( Q );			//从队列中抛出一个元素 
		printf("%d\n",T->Data);		//访问取出队列的结点
		if(T->Left)  
		{
			AddQ(Q, t->Left);		//左儿子入队 
		}	
		if(T->Right)
		{
			AddQ(Q, T->Right);		//右儿子入队 
		}
	} 
}