雷达信号处理所有公式整理 第三章 3.1 脉冲雷达数据的获取与存储结构

3.1 脉冲雷达数据的获取与存储结构

1. 快时间与距离采样

推导背景：在快时间（距离维）采样中，采样率 $F_s$ 必须满足奈奎斯特采样定理，即大于等于信号带宽 。采用瑞利带宽 $\beta_r$ 作为近似采样率（即 $F_s = \beta_r$），采样间隔 $T_s = 1/\beta_r$ 。因为雷达电磁波往返目标需要双程时间，距离 $R$ 与时间 $t$ 的关系为 $R = ct/2$。 因此，对应的距离单元间隔（距离采样分辨率）公式为：

$$\Delta R_s = \frac{cT_s}{2} = \frac{c}{2\beta_r} \quad \text{m} \tag{3.1}$$

无需推导直接给出的理想相位调制脉冲基带频谱模型：

$$\Upsilon(F) = \begin{cases} A \exp[j\Phi(F)], & |F| < \frac{\beta}{2} \\ 0, & |F| > \frac{\beta}{2} \end{cases} \tag{3.2}$$

2. 多普勒带宽的推导（由平台运动引起）

推导过程：由于雷达平台的运动，波束内不同角度的目标相对雷达的径向速度不同，从而产生了多普勒展宽 。 已知基础多普勒频移公式：

$$F_{\rm D} = \frac{2\nu}{\lambda} \cos \psi \quad \text{Hz} \tag{3.3}$$

考虑天线波束宽度为 $\theta_3$，视轴与速度矢量的夹角为 $\psi$。在波束的两个3dB边缘处，斜视角分别为 $\psi - \theta_3/2$ 和 $\psi + \theta_3/2$ 。这两个边缘对应的多普勒频移差即为多普勒带宽 $\beta_{\rm D}$。 利用和差化积公式 $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$：

$$\beta_{\rm D} = \frac{2\nu}{\lambda} \left[ \cos(\psi - \theta_3 / 2) - \cos(\psi + \theta_3 / 2) \right]$$

$$= \frac{4\nu}{\lambda} \sin\left(\frac{\theta_3}{2}\right) \sin\psi \tag{3.4}$$

因为雷达天线波束宽度 $\theta_3$ 通常很小（通常小于 5°），可采用小角度近似 $\sin(\theta_3/2) \approx \theta_3/2$ 。代入上式得到斜视情况下的简化多普勒带宽：

$$\beta_{\rm D} \approx \frac{2\nu\theta_3}{\lambda}\sin\psi \quad \text{Hz} \tag{3.5}$$

若雷达为前视（$|\psi| [cite_start]< \theta_3/2$），主瓣包含速度矢量方向，最大多普勒频移出现在正前方（此时夹角为0，余弦值为1）。因此带宽需用正前方的最大值减去波束边缘的最小值 。完整的表达式为：

$$\beta_{\rm D} \approx \begin{cases} \frac{2\nu\theta_3}{\lambda}\sin\psi & \text{Hz,} \quad |\psi| > \frac{\theta_3}{2} & \text{(斜视)} \\ \frac{2\nu}{\lambda} [1 - \cos(\psi + \theta_3/2)] & \text{Hz,} \quad |\psi| < \frac{\theta_3}{2} & \text{(前视)} \end{cases} \tag{3.6}$$

3. 盲多普勒、盲速与距离模糊

无需推导的基础定义 ：

$$F_{Db} = PRF = \frac{1}{T} \quad \text{Hz}; \quad v_{b} = \frac{\lambda}{2} PRF = \frac{\lambda}{2T} \quad \text{m/s} \tag{3.7}$$

$$F_{\rm D} = F_{\rm Da} + n \cdot F_{\rm Db}; \quad v = v_{\rm a} + n \cdot v_{\rm b} \tag{3.8}$$

无模糊距离推导：为保证在下一个脉冲发射前接收到完整回波，回波时延加上脉宽必须小于脉冲重复间隔 $T$ ，即 $2R_{ua}/c+\tau < T$。通常 $T \gg \tau$，所以：

$$R_{\text{ua}} = \frac{c}{2}(T - \tau) \approx \frac{c}{2PRF} \tag{3.9}$$

将式 (3.7) 代入上式，得到无模糊距离与无模糊多普勒的制约关系 ：

$$R_{\rm ua}F_{\rm Db} = \frac{c}{2}, \quad R_{\rm ua}v_{\rm b} = \frac{\lambda c}{4} \tag{3.10}$$

视在距离与真实距离关系 ：

$$R_0 = R_a + n \cdot R_{ua} \tag{3.11}$$

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3.2 多普勒频谱采样

频域奈奎斯特速率推导（DTFT与DFT的关系） 离散时间信号 $y_s[m]$ 的离散时间傅里叶变换（DTFT）是连续函数 ：

$$\Upsilon_s(\omega) \equiv \sum_{m=-\infty}^{\infty} y_s[m] e^{-j\omega m} \quad \omega \in (-\pi, \pi) \tag{3.12}$$

对该频谱进行 $K$ 点等间隔采样（即离散傅里叶变换 DFT）：

$$\Upsilon_s[k] = \Upsilon_s\left(\frac{2\pi k}{K}\right) \quad k \in [0, K-1] \tag{3.13}$$

为探究频域采样对时域信号的影响，我们对采样后的频谱进行逆DFT计算。将式 (3.12) 代入逆变换公式中交换求和顺序 ：

$$\hat{y}_{s}[m] = \frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} \left( \sum_{p=-\infty}^{\infty} y_{s}[p] e^{-j2\pi pk/K} \right) e^{j2\pi mk/K}$$

$$= \sum_{p=-\infty}^{\infty} y_{s}[p] \left[ \frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} e^{j2\pi (m-p)k/K} \right] \tag{3.14}$$

方括号内是周期性复指数序列的求和，根据正交性，当 $m-p$ 是 $K$ 的整数倍（即 $m-p = qK$）时，求和结果为1，否则为0。这可以用离散单位脉冲函数表示 ：

$$\frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} e^{j2\pi(m-p)k/K} = \sum_{q=-\infty}^{\infty} \delta[m-p-qK] \tag{3.15}$$

代入后得到最终的重构时域信号。这表明频域的采样等价于时域信号以 $K$ 为周期进行周期延拓 ：

$$\hat{y}_s[m] = \sum_{q = -\infty}^{\infty} y_s[m - qK] \quad m \in [0, K - 1] \tag{3.16}$$

为避免时域发生混叠，采样点数必须满足 $K \geqslant M$，由此得出频域的奈奎斯特采样间隔限制 ：

$$\omega_s \leqslant \frac{2\pi}{M} \quad \text{rad} \tag{3.17}$$

(注：式 3.18 书中似乎跳过了编号，原文未展示)

单纯复正弦信号模型及其DTFT结果 (数字sinc函数) ：

$$y_s[m] = Ae^{j\omega_p M} \quad m \in [0, M-1] \tag{3.19}$$

$$\Upsilon_{s}(\omega) = A \frac{\sin[(\omega - \omega_{D})M/2]}{\sin[(\omega - \omega_{D})/2]} \exp\left[-j\left(\frac{M-1}{2}\right)(\omega - \omega_{D})\right] \tag{3.20}$$

为了将跨越损失（采样点错过峰值）限制在 3 dB 内所需的过采样条件 ：

$$K \ge \frac{2\pi}{5.58} M = 1.13M \tag{3.21}$$

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3.3 空间和角度维采样

1. 空间阵列采样推导

电磁波以波长 $\lambda$ 和偏离法向角度 $\theta$ 入射，根据波前相位差可定义波数（空间角频率）和对应的空间频率 ：

$$K_x = \frac{2\pi}{\lambda} \sin \theta \quad \text{rad/m} \tag{3.22}$$

$$F_x = \frac{1}{\lambda}\sin\theta \quad \text{周期/m} \tag{3.23}$$

角度 $\theta$ 的物理取值范围为 $[-90^{\circ}, 90^{\circ}]$。因此空间频率的最大跨度（带宽）为 ：

$$\beta_x = \frac{1}{\lambda} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{\lambda} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2}{\lambda} \tag{3.24}$$

根据奈奎斯特准则，阵元间距 $d$ 必须小于等于空间带宽的倒数 ：

$$d \le \frac{1}{\beta_{x}} = \frac{\lambda}{2} \quad \text{m} \tag{3.25}$$

2. 角度采样推导

距离平均反射系数与双程天线方向图卷积模型 ：

$$y(\theta; R_0) = A_r \int_{-\pi}^{\pi} E^2(\zeta - \theta) \hat{\rho}(\zeta; R_0) d\zeta \tag{3.26}$$

理想矩形孔径天线的双程功率方向图为 $\text{sinc}^2$ 函数 。定义 $s = \sin \theta$ 和 $\alpha = D/\lambda$：

$$E^{2}(\theta) = \left[ \frac{\sin(\pi D \sin \theta / \lambda)}{\pi D \sin \theta / \lambda} \right]^{2} \tag{3.27}$$

$$E^{2}(s) = \left[\frac{\sin(\pi \alpha s)}{\pi \alpha s}\right]^{2} \tag{3.28}$$

该方向图在 $s$ 域的傅里叶变换带宽为 $2\alpha$。为避免混叠，$s$ 域的采样间隔需满足 ：

$$T_s \leqslant \frac{1}{2\alpha} \tag{3.29}$$

进行变量替换：由微分 $ds = \cos\theta d\theta$，得角域采样间隔 $T_{\theta} = T_s/\cos\theta$。在 $\theta=0$ 视轴方向，采样间隔要求最严格（取得最小值 $T_s$）。所以角域奈奎斯特间隔为：

$$T_{\theta} \leqslant \frac{1}{2\alpha} = \frac{\lambda}{2D} \tag{3.30}$$

引入3dB波束宽度公式 $\theta_3 = k \lambda/D$（对于均匀照射 $k=0.89$）：

$$\theta_3 = k \frac{\lambda}{D} = \frac{k}{\alpha} \quad \text{rad} \tag{3.31}$$

结合上述两式，得到基于波束宽度的角扫描步进要求 ：

$$T_{\theta} \leqslant \frac{\theta_3}{2k} \tag{3.32}$$

对于扫描速率为 $\Omega_0$ 的雷达，发射脉冲间的角度变化为 $\Omega_0 \cdot PRI$。据此可得所需 PRF 的下界 ：

$$PRF \ge \frac{2k\Omega_0}{\theta_3} \tag{3.33}$$

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3.4 I/Q 通道不均衡以及数字 I/Q

I/Q 失配误差推导 在正交接收机中，如果 I 通道理想，Q 通道存在幅度失配误差因子 $(1+\varepsilon)$，相位失配 $\phi$，以及两通道的直流偏置 $\gamma$ 和 $\kappa$。理想的输入相位 $\theta(t)$ 。 构建复信号 $x(t) = I(t) + jQ(t)$：

$$x(t) = A\cos\theta + \gamma + j[A(1+\varepsilon)\sin(\theta-\phi) + \kappa]$$

展开正弦项 $\sin(\theta-\phi) = \sin\theta\cos\phi - \cos\theta\sin\phi$，重新合并 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 项：

$$x(t) = A\{[1-j(1+\varepsilon)\sin\phi]\cos\theta + j(1+\varepsilon)\cos\phi\sin\theta\} + (\gamma+j\kappa)$$

定义复常数 $\alpha$ 和实常数 $\beta$ 吸收大括号内的系数 ：

$$x(t) \equiv A(\alpha\cos\theta + j\beta\sin\theta) + (\gamma+j\kappa) \tag{3.34}$$

利用简单的代数恒等式，将 $\alpha$ 和 $\beta$ 分解为和差形式 ：

$$\alpha = \frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\alpha - \beta}{2}; \quad \beta = \frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{\alpha - \beta}{2} \tag{3.35}$$

将其代入式 (3.34) 并利用欧拉公式展开 $\cos\theta$ 与 $\sin\theta$。这揭示了失配误差的物理意义：不仅产生主信号（频率为正），还泄漏了镜像信号分量（频率为负，系数为 $\frac{\alpha - \beta}{2}$），以及直流偏置 ：

$$x(t) = A \left[ \frac{\alpha + \beta}{2} \exp(+j\theta) + \frac{\alpha - \beta}{2} \exp(-j\theta) \right] + (\gamma + j\kappa) \tag{3.36}$$