弱校连萌之十一大作战v10.2 G【 Road History 】

原创于 2016-10-11 19:47:02 发布 · 697 阅读

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#并查集 #二分图 #计数

本文介绍了一个图论问题的解决方法，该问题要求计算每次添加边后图中有序点对的数量，这些点对之间的路径包含偶数个节点。通过使用并查集维护二分图的信息，可以有效地更新答案。

题意：一个图，开始边数为零，然后每次加一条边，问每次加完边之后存在多少对这样的有序点对(u,v)，使得u->v存在一条路径经过的点数为偶数(边可以重复走，点也重复记)。

思路：xjb画一下就会发现，对于一个二分图的答案数就是两部分点数的乘积，其他连通图的任意两点都是可以xjb走出一条这样的路径。那么这个题就变成了维护二分图的信息了，按照叉姐给的思路用个并查集xjb维护一下。开始以为如果分成多个联通块的话不好维护，网上也没找到什么靠谱的代码，然后自己就yy了一发，后来发现其实只要维护一下每次加边的时候，减去原来的答案，加上现在的答案就可以了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int maxn = 100007;

int n, m, par[maxn], opo[maxn]; // opo[i]表示i点对应的二分图的另一半 -1代表孤立点 -2代表非二分图

int find(int x)
{
	if(par[x] < 0) return x;
	return par[x] = find(par[x]);
}

void Uinon(int x, int y)
{
	if(x == y) return;
	if(y < 0 || x < 0) return;
	par[x] += par[y];
	par[y] = x;
}

int main()
{
	int u, v;
	long long ans = 0;
	scanf("%d %d", &n,&m);
	memset(opo, -1, sizeof(opo));
	memset(par, -1, sizeof(par));
	for(int i = 1; i <= m; i ++) {
		scanf("%d %d", &u, &v);
		int x = find(u);
		int y = find(v);
		if(x == y) {
			y = opo[x];
			if(opo[x] == -2) { //如果在一个图中
				printf("%lld\n", ans);
				continue;
			}
			// 如果一个二分图变成非二分图
			int numx = - par[x]; 
			int numy = - par[y];
			Uinon(x, y);
			x = find(x);
			opo[x] = -2;
			ans = ans - 1ll * numx * numy + 1ll * (numx + numy) * (numx + numy - 1) / 2;
		
		} else {
			if(opo[x] == -2 || opo[y] == -2) {	
				if(opo[x] != -2) std::swap(x, y); //把y换到二分图的位置，省得分类讨论
				if(opo[y] == -1) { //如果y是孤立点，其实可以去掉，跟下面重了，懒得改了
					ans += -par[x]; 
					Uinon(x, y);
					x = find(x);
					opo[x] = -2;
					printf("%lld\n", ans);
					continue;
				}
				if(opo[y] != -2) { //如果y是二分图      
					ans -= 1ll * par[y] * par[opo[y]];
					ans += 1ll * (-par[y] - par[opo[y]]) * (-par[y] - par[opo[y]] - 1ll) / 2ll;
					ans += 1ll * par[x] * (par[y] + par[opo[y]]);
				} else { //如果y也是非二分图且不是孤立点
					ans += 1ll * par[x] * par[y];
				}
				Uinon(y, opo[y]);
				y = find(y);
				Uinon(x, y);
				x = find(x);
				opo[x] = -2;
				printf("%lld\n", ans);
				continue;
			}
			// 如果都是二分图，加一条边合并还是二分图
			if(opo[y] != -1) ans -= 1ll * par[opo[y]] * par[y];
			if(opo[x] != -1 && opo[x] != y) ans -= 1ll * par[opo[x]] * par[x];
			Uinon(x, opo[y]);
			Uinon(y, opo[x]);
			x = find(x), y = find(y);
			opo[x] = y, opo[y] = x;
			ans += 1ll * par[x] * par[y];
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
}