二叉树的最大深度与最小深度

本文介绍了如何使用递归算法计算二叉树的最大深度与最小深度。对于最大深度,通过比较左右子树深度来确定;而对于最小深度,则需考虑单子树情况。文中详细解释了这两种情况下的递归实现。

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求二叉树的最大深度与最小深度,递归算法。


最大深度

二叉树的最大深度是距根节点路径最长的某一树叶节点的深度。
二叉树的深度等于二叉树的高度,也就等于根节点的高度。根节点的高度为左右子树的高度较大者+1。
由此思想可用递归求解,其实也就是后序遍历二叉树的算法。

//     struct TreeNode {
//        Objects elements;
//        TreeNode* left;
//        TreeNode* right;
//        TreeNode ( Objects x ) : elements(x), left(nullptr),    right(nullptr) { }
//      }

int MaxDepth ( TreeNode* root ) {
    int depth = 0;
    if ( root ) {
        int ldepth = MaxDepth ( root -> left );
        int rdepth = MaxDepth ( root -> right );
        depth = ( ldepth > rdepth ) ? ldepth + 1 : rdepth + 1;
    }
    return depth;
}

最小深度

二叉树的最小深度,等于左右子树深度较小者+1。
这里需要注意的问题是:求最大深度的时候,只需要比较左右子树的深度,取较大者+1就行了;但是求最小深度的时候,需要区分双子树与单子树,双子树时,深度较小者+1,单子树时(即左右子树有一颗为空时)为深度较大者+1。
主要思想仍然是后序递归遍历。

int MinDepth(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return 0;
    int l = MinDepth(root->left);
    int r = MinDepth(root->right);
    if (l==0 || r==0) { return l+r+1; }
    return (l<r?l:r)+1;
}
<think>好的,我现在需要回答用户关于平衡二叉树最大深度最小深度是否相同的问题。首先,我应该回顾一下平衡二叉树的定义和相关性质。平衡二叉树(AVL树)的定义是任意节点的左右子树高度差不超过1。也就是说,每个节点的左右子树的高度差绝对值都不超过1。 接下来,我需要理解最大深度最小深度的概念。最大深度指的是从节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数,而最小深度则是从节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数。对于普通的二叉树来说,最大深度最小深度可能相差很大,例如在极端倾斜的树中,最大深度可能接近节点数,而最小深度可能只有1。 但问题在于平衡二叉树的情况。因为平衡二叉树的结构被设计成尽可能平衡,所以它的左右子树的高度差被限制在1以内。这种情况下,最大深度最小深度之间的差距是否也会被限制呢? 首先,我需要考虑平衡二叉树的结构。由于每个节点的子树高度差不超过1,整个树的深度应该比较接近对数级别。例如,一个包含n个节点的平衡二叉树的高度大约是log₂(n)。但这里需要区分最大深度最小深度。 例如,假设有一个平衡二叉树节点的左子树高度为h,右子树高度为h或者h-1。那么节点的深度(这里可能指的是树的高度)是h+1。对于左子树中的节点,其最大深度最小深度可能会有不同的情况。比如,左子树本身也是一个平衡二叉树,它的最大深度最小深度可能相差不超过1。但整个树的最大深度最小深度是否相同呢? 可能需要通过举例来验证。例如,考虑一个完全平衡的满二叉树,其中每个叶子节点都在同一层。这种情况下,最大深度最小深度显然是相同的,因为所有叶子节点都在同一层,路径长度相同。例如,一个高度为3的满二叉树,所有叶子节点都在第3层,所以最大深度最小深度都是3。 但是,如果平衡二叉树不是完全填满的情况呢?比如,有一个平衡二叉树,其中最后一层可能缺少一些叶子节点,但依然保持平衡。例如,一个平衡二叉树可能有左子树比右子树高1,这时候节点的左右子树高度差为1,满足平衡条件。此时,最大深度可能是左子树的高度+1,而最小深度可能是右子树的高度+1,也就是最大深度最小深度大1。因此,在这种情况下,最大深度最小深度相差1,并不相同。 例如,考虑一个平衡二叉树结构如下: A / \ B C / \ D E / F 在这个例子中,节点A的左子树高度为3(B-D-F),而右子树C的高度为1。不过,这样的结构其实并不满足平衡二叉树的条件,因为节点A的左右子树高度差为2,超过了1。因此,这个例子是错误的,不能作为平衡二叉树的例子。需要构造一个正确的平衡二叉树,其中每个节点的子树高度差不超过1。 正确的例子应该是这样的: A / \ B C / \ \ D E F 这里,节点A的左子树高度为2,右子树高度为2(C有一个右子节点F,所以高度为2)。此时,各个节点的子树高度差都不超过1。此时,最大深度是3(例如路径A-B-D),而最小深度是2(路径A-C-F)。因此,最大深度最小深度相差1,不相同。 另一个例子是: A / \ B C / D 这里,节点A的左子树高度为2,右子树高度为1,高度差为1,符合平衡条件。最大深度是3(A-B-D),而最小深度是2(A-C)。因此,最大深度最小深度相差1,不相同。 但是,如果平衡二叉树是完全填满的,即满二叉树的情况,那么所有叶子节点都在同一层,此时最大深度最小深度相同。例如: A / \ B C / \ / \ D E F G 此时,所有叶子节点都在第三层,最大深度最小深度都是3,因此相同。 所以,结论应该是:在平衡二叉树中,最大深度最小深度可能相同,也可能相差1,具体取决于树的结构。例如,当平衡二叉树是完全满二叉树时,两者相同;而当树的结构在最后一层没有完全填满时,可能相差1。因此,平衡二叉树最大深度最小深度不一定相同,但它们的差值不会超过1。 需要进一步验证这个结论是否正确。据平衡二叉树的定义,每个节点的左右子树高度差不超过1,所以整个树的左右子树高度差不超过1,这可能导致树的最大深度最小深度之间的差距不超过1。例如,节点的左子树高度为h,右子树高度为h或h-1。因此,整棵树的最大深度可能是h+1,而最小深度可能是h或h-1+1,即h或 h。或者需要更仔细地分析。 或者,最大深度指的是整棵树的高度,即节点到最远叶子节点的路径长度,而最小深度节点到最近叶子节点的路径长度。在平衡二叉树中,由于每个节点的子树高度差不超过1,整个树的高度是log₂n的数量级,但最大深度最小深度之间是否存在固定的关系? 例如,对于高度为h的平衡二叉树最小深度可能是h或h-1。例如,如果树的结构使得有一条路径到叶子节点的高度为h,而另一条路径的高度为h-1,那么最小深度就是h-1,最大深度是h,相差1。例如: A / \ B C / / D F / E 这里,节点A的左子树高度为3(B-D-E),右子树高度为2(C-F),平衡差为1。最大深度是4(A-B-D-E),而最小深度是3(A-C-F)。两者相差1。 因此,在这种情况下,平衡二叉树最大深度最小深度相差1,但据平衡条件,这种结构是否合法呢?需要检查每个节点的平衡因子。例如,节点A的左子树高度为3,右子树高度为2,差为1,符合平衡条件。节点B的左子树高度为2(D-E),右子树高度为0,差为2,这不符合平衡条件,因此这个例子其实不是平衡二叉树。这说明之前的例子有误,必须确保每个节点的子树高度差不超过1。 正确的例子需要每个节点的左右子树高度差都不超过1。例如: A / \ B C / \ D E / F 这里,节点B的右子树E有一个左子节点F,高度为2,而节点B的左子树D高度为1。所以节点B的平衡因子是1,符合条件。节点A的左子树高度为3,右子树C的高度为1,差为2,这不符合平衡条件。因此,这个结构也不正确。 看来构造正确的例子需要更仔细。例如: A / \ B C / \ \ D E F / G 这里,节点B的左右子树高度分别为1(D)和2(E-G),所以差为1,符合条件。节点A的左子树高度为3,右子树高度为2,差为1,符合条件。此时,最大深度是4(A-B-E-G),而最小深度是3(A-C-F),所以相差1。这说明在这种情况下,平衡二叉树最大深度最小深度相差1。 另一个正确的例子是满二叉树,例如: A / \ B C / \ / \ D E F G 此时,每个叶子节点的深度都是3,所以最大和最小深度相同,都是3。 因此,结论是平衡二叉树最大深度最小深度可能相同,也可能相差1,这取决于树的结构。因此,平衡二叉树最大深度最小深度不一定相同,但它们的差不会超过1。而用户的问题是在问“是否相同”,所以答案应该是否定的,即不一定相同,但它们的差不超过1。 所以,最终的结论是:平衡二叉树最大深度最小深度不一定相同,但它们的差最多为1。因此,平衡二叉树最大深度最小深度可以不同,但差异非常小。</think>### **平衡二叉树最大深度最小深度是否相同?** 要回答这个问题,我们需要从平衡二叉树的定义和结构特性入手,逐步分析其深度关系。 --- ### **1. 平衡二叉树的定义** 平衡二叉树(AVL树)满足以下条件: - **任意节点的左右子树高度差不超过1**(即平衡因子绝对值≤1)。 - 这一性质保证了树的高度近似为$O(\log n)$,从而提高查找、插入、删除等操作的效率。 --- ### **2. 最大深度最小深度的概念** - **最大深度**:从节点到最远叶子节点的路径长度(节点数)。 - **最小深度**:从节点到最近叶子节点的路径长度。 对于普通二叉树最大深度最小深度可能相差较大(例如倾斜树),但平衡二叉树的特性会限制这一差距。 --- ### **3. 平衡二叉树的结构分析** 由于平衡二叉树的每个节点左右子树高度差≤1,其整体结构较为紧凑。 #### **关键观察**: 1. **节点的左右子树高度差≤1**。 2. **子树递归满足平衡条件**,即所有子树均为平衡二叉树。 3. **最大深度最小深度的差距受平衡条件限制**,具体可分为两种情况: - **完全平衡(满二叉树)**:所有叶子节点在同一层,此时最大深度=最小深度(例如高度为$h$的满二叉树深度均为$h$)。 - **不完全平衡**:最后一层未填满,但所有子树高度差≤1,此时最大深度-最小深度≤1。 --- ### **4. 实例验证** #### **例1:完全平衡的满二叉树** ``` 1 / \ 2 3 / \ / \ 4 5 6 7 ``` - **最大深度**:3(路径如1→2→4)。 - **最小深度**:3(路径如1→3→6)。 - **结论**:最大深度=最小深度。 #### **例2:不完全平衡的平衡二叉树** ``` 1 / \ 2 3 / \ \ 4 5 6 \ 7 ``` - **最大深度**:4(路径如1→2→5→7)。 - **最小深度**:3(路径如1→3→6)。 - **结论**:最大深度-最小深度=1,符合平衡条件。 --- ### **5. 结论** - **平衡二叉树最大深度最小深度不一定相同**,但它们的差距被严格限制在**最多为1**。 - **当树是完全满二叉树时**,两者相等;当树不完全填满时,两者相差1。 --- ### **总结** | 树类型 | 最大深度最小深度的关系 | |--------------|------------------------------| | **普通二叉树** | 可能相差极大(如线性树) | | **平衡二叉树** | 相差≤1(可能相同,也可能差1) | **最终答案**: 平衡二叉树最大深度最小深度**不一定相同**,但它们的差值最多为1。这是由平衡二叉树的严格平衡条件(任意节点左右子树高度差≤1)所保证的。
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