输入一个正整数N, 输出所有正整数M ,满足 M小于等于 N , M等于a三次方加b三次方 等于c三次方加d三次方

本文介绍了一个Java程序,该程序旨在找出所有符合条件的正整数M(M=(a^3)+(b^3)=(c^3)+(d^3)),其中a、b、c、d均为整数且M小于等于给定的正整数N。通过使用哈希映射存储中间结果,程序有效地找到了所有可能的组合。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

public class PowTest {
    public static void main(String[] args) {
        // 写一个程序,输入一个正整数N, 输出所有正整数M ,满足 M <= N , M= (a^3)+(b^3) = (c^3)+(d^3)
        //分析:a,b,c,d假设为整数,那么确定的事以上6个变量均为整数
        HashMap<Integer, Integer> bPowMap = new HashMap<>();//key为a的立方,value为a
        HashMap<Integer, String> sumMap = new HashMap<>();//key为M,value为(a+b)
        double N = 1000000;
//        double nPow_ = Math.pow(N,1.0/3);//pow函数开根号的时候,由于1.0/3为无线循环小数,基于计算,得到的值不能精确为整数;
        int nPow_ = 100;
        for (int a = -nPow_; a <= nPow_; a++) {//0-4之间进行循环
            int aPowValue = (int) Math.pow(a, 3);//求a^3
            bPowMap.put(aPowValue, a);//把a和a^3保存,可以看做是b,因为a和b的值可以为相等的,所以从第一次添加开始就需要有求和
            Object[] aPowKeySet = bPowMap.keySet().toArray();
            for (int i = 0; i < aPowKeySet.length; i++) {//循环将map中b值取出,然后和a^3求和sumAB,然后满足<=N则保存sumAB,
                                                         // 最后就是每一次保存判断sumAB是否已经存在,存在则打印abcd。
                Integer keyV = (Integer) aPowKeySet[i];
                int sumAB = aPowValue + keyV;
                if (sumAB <= N&&sumAB>0) {
                    if (sumMap.containsKey(sumAB)) {
                        System.out.println("M=" + sumAB + "; a_b_c_d : " + sumMap.get(sumAB) + "_" + a + "_" + bPowMap.get(keyV));
                    } else {
                        sumMap.put(sumAB, a + "_" + bPowMap.get(keyV));
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println("cc");
    }
}

 

<think>我们生成所有n位m进制数,每一位的取值范围是0到m-1。注意,n位数的最高位可以是0,所以实际上我们生成的是固定长度为n的m进制数字串,包括前导零。要求从小到大输出,我们可以使用深度优先搜索(DFS)或者直接使用嵌套循环(如果n固定的话),但n不固定,所以用DFS递归或者迭代(如使用栈)更合适。另一种思路是:我们可以将0到m^n-1的数字全部生成,然后将每个数字转换为m进制,并固定为n位(不足位前面补0)。这样也可以保证从小到大的顺序。但是注意:题目要求输出所有n位m进制数,所以每一位独立,且总共有m^n个数。方法一:使用DFS递归,从最高位开始,每一位枚举0到m-1,递归到最低位然后输出。方法二:使用迭代,用一个数组存储当前数,然后模拟法(类似于计数器),从0开始,每次1,直到达到m^n-1,并输出过程中每一个数(需要补足n位)。这里我们用方法二:迭代方法。因为这样可以直接保证顺序从小到大。步骤:1.初始化一个数组num,长度为n,全部初始化为0(代表最小的n位m进制数)。2.我们总共需要输出m^n个数。3.每次输出当前的数组(表示一个n位m进制数),然后对数组进行“1”操作(注意是m进制)。-从最后一位(最低位)开始1。-如果某一位1后等于m,则进位(将该位置0,前一位1),否则停止进位。-如果进位到最高位且最高位等于m,说明已经到达最大数,结束循环。但实际上我们控制循环次数为m^n次,所以不需要这个判断,因为我们在循环次数内。但是,由于我们是从0到m^n-1,所以我们可以用一个整数计数器从0到m^n-1,然后将每个整数转换为m进制并补足n位。这样更简单。下面我们用整数计数器的方法:例如:n=2,m=3,则我们需要输出00,01,02,10,11,12,20,21,22。具体步骤:1.计算总数:total=m**n2.循环i从0到total-1:将i转换为m进制数,然后格式化成n位(不足n位前面补0)注意:转换为m进制时,我们可以用除基取余法,但是注意顺序。我们可以从低位开始取余,然后倒序排列。但注意要补足n位。然而,我们可以利用字符串格式化,但m进制格式化在标准库中没有直接支持,所以我们可以自己写转换函数。但注意:m最大可能是多少?题目没有限定,但一般m不会太大(比如不超过36,我们可以用0-9a-z表示,但题目要求是数字,所以如果m>10,我们需要用字母吗?题目没有说,但通常如果m>10,我们用字母表示10以上的数。但题目要求生成的是“数”,但输出时应该是一个字符串,每一位可以是0到m-1的字符表示。如果m<=10,我们可以用0-9,如果m>10,那么10以上用字母(比如a表示10,b表示11,...,z表示35)。但题目没有明确,所以我们按照常规,m<=10时用数字字符,m>10时用字母表示大于等于10的数字。但是,题目没有要求,我们也可以统一用数字字符,但如果m>10,那么一位就需要多个字符来表示?这显然不合理。所以题目中“m进制数”的每一位应该是一个符号,通常用0-9A-Z(或a-z)来表示,最多可以表示36进制。因此,我们假设m的范围是2<=m<=36。如果m超过36,我们可以用其他方式,但题目没有说明,我们先按m<=36处理。我们可以这样转换:创建一个字符列表,digits="0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"但是,题目要求从小到大输出,并且要求是n位,包括前导0。具体步骤:1.定义字符表:digits="0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"2.循环i从0到(m^n)-1:初始化一个空字符串stemp=i循环n次(因为要保证n位):每次取tempmodm,得到余数r,将digits[r]到s的左边(因为先得到的是低位,所以我们要逆序,所以每次到左边)temp=temp//m这样得到的s就是i的m进制表示,并且是n位(因为循环n次,即使高位是0也会被补上),但是注意:这样得到的是逆序的?不,因为我们每次到左边,所以顺序是正确的。但是,这样循环n次,即使i很小,也会被补足n位。例如:n=3,m=2,i=0:循环3次,第一次r=0%2=0,s="0",然后0//2=0;第二次r=0%2=0,s="00";第三次r=0%2=0,s="000"。正确。然而,我们也可以用一个数组来存每一位,然后反转?其实不用,因为我们每次在左边添,所以最后就是高位在前。但是,注意:这样得到的是从低位开始取余,然后我们每次把新余数在字符串的左边,所以最终字符串是高位到低位的顺序,正确。然而,还有一种情况:如果i很大,已经超过n位能表示的最大值?不会,因为我们只循环到m^n-1,所以每个i都可以用n位m进制表示(可能有前导0)。因此,我们按照这个思路编写代码。但是,注意:当m=1时,n位1进制数?实际上1进制通常不用,但题目没有限定m>=2?如果m=1,那么每一位只能是0,但1进制通常用1来表示1,2用11表示?但题目没有说明。我们假设m>=2。另外,题目要求输出所有n位m进制数,所以nm由用户输入。代码实现(Python)如下:注意:如果m>36,我们无法用单个字符表示,所以需要报错。但题目没有说明,我们假设m<=36。另外,我们可以用递归或DFS方法,这里为了简单,用循环方法。但是,当nm较大时,m^n会非常大,所以只适用于较小的nm。下面我们用循环实现:步骤:1.输入nm。2.计算总数total=m**n3.定义字符表digits="0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"4.循环i从0到total-1:初始化一个空字符串s=""设置一个临时变量temp=i循环j从0到n-1:#这里循环n次,保证输出n位r=temp%mtemp=temp//ms=digits[r]+s#将当前余数对应的字符到字符串前面输出s但是,这样会输出很多字符串,按行输出。但是,当n=0时?需要特殊处理:输出空字符串?但题目n位,n应该至少为1。我们假设n>=1。然而,上面的方法在每次循环中进行了n次取余除法,时间复杂度为O(n*total)=O(n*m^n),当m^n很大时,效率较低。另一种方法:我们可以使用迭代生成字符串而不需要每次进行除法。例如,我们可以模拟一个n位的计数器,每一位从0到m-1。然后每次输出当前计数器状态,然后递增计数器。递增计数器的步骤:从最后一位开始,将当前位1,如果等于m,则置0并进位到前一位,否则停止进位。这样我们不需要做除法,只需要修改数组即可。具体步骤:1.初始化一个数组arr,长度为n,全部为0。2.循环m^n次:将数组转换为字符串:将每个元素用digits转换,然后连接起来(注意,数组第一个元素是最高位,所以直接按顺序连接即可)输出字符串然后对数组进行递增操作:pos=n-1#最后一位whilepos>=0:arr[pos]+=1ifarr[pos]<m:breakelse:arr[pos]=0pos-=1#进位到前一位#注意:如果pos<0,说明已经进位到最高位之前,即所有数已经输出完毕?但因为我们循环了m^n次,所以不会出现这种情况。但是,注意:当递增到最后一个数(即所有位都是m-1)时,再1,就会导致进位到最高位之前,但此时我们已经输出了最后一个数,然后循环结束。所以实际上我们循环次数是m^n次,所以不需要担心。这种方法避免了除法取余,每次修改数组的常数个位置(平均进位次数很少),所以效率更高。我们选择这种方法。代码:输入nm初始化arr=[0]*ndigits="0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"total=m**nforcountinrange(total):#将arr转换为字符串s=''.join(digits[x]forxinarr)print(s)#递增arrcarry=1pos=n-1whilecarryandpos>=0:arr[pos]+=1ifarr[pos]==m:arr[pos]=0pos-=1else:carry=0#进位结束注意:这里我们使用carry来表示进位,但其实我们可以省略carry,因为进位只在等于m时发生。上面的循环在进位时(等于m)会继续进位,直到某一位不再等于m或者全部进位完毕。但注意:如果最后一位进位后小于m,我们就停止进位。所以正确。但是,当pos<0时,说明已经进位到最前面,但此时我们已经输出了m^n次,所以循环结束,不会继续。因此,这个循环是安全的。但是,我们也可以不用carry变量,修改如下:forcountinrange(total-1):#注意:我们已经输出了第一个(全0),然后还需要再输出total-1次...输出当前arr...然后进行进位操作(从最后一位开始,直到不需要进位)但是这样需要先输出一个,然后循环total-1次。或者,我们按照上面的循环total次,第一次输出全0,然后递增total-1次。我们使用上面的代码。然而,注意:当m=0时?不可能,因为m进制至少是2进制。所以输入时保证m>=2。因此,完整代码:n=int(input("请输入位数n:"))m=int(input("请输入进制m:"))ifm<2orm>36:print("进制m必须在2到36之间")exit()total=m**narr=[0]*ndigits="0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"foriinrange(total):#将当前数组转换为字符串s=''.join(digits[arr[j]]forjinrange(n))print(s)#进行进位操作,为下一次循环准备(除了最后一次,最后一次进位后不用输出,但循环已经结束)#进位操作:从最后一位开始1,直到不需要进位#注意:最后一次,即所有位都是m-1时,1后所有位变0,并且进位到最高位之前(即pos<0),但此时循环已经结束,所以不会影响。carry_index=n-1whilecarry_index>=0:arr[carry_index]+=1ifarr[carry_index]<m:breakelse:arr[carry_index]=0carry_index-=1注意:在最后一行输出后,我们仍然会进行进位操作,但最后一次进位操作会导致数组重新回到全0(当i=total-1时,进位操作后,arr会变成全0?但此时循环已经结束,所以没有关系。因为最后一次输出后,我们不再需要数组的值。但是,当i=total-1时,我们输出的是全m-1的数,然后进位操作会将其变成全0(同时carry_index变成-1)。但是此时循环结束,所以不会影响。所以代码正确。但是,如果n=0?我们假设n>=1。测试:n=1,m=2,输出0,1。测试:n=2,m=2,输出00,01,10,11。但是,注意:题目要求从小到大输出,我们的输出顺序是:00,01,10,11,符合从小到大的顺序(因为00最小,11最大)。因此,我们按照这个思路编写程序。但是,如果m很大,比如m=36,n=3,那么总数是36^3=46656,输出这么多行是可行的。但如果n再大,比如n=10,m=2,有1024个数,还可以。但m=10,n=10,有10^10个数,即100亿,这样输出不现实。所以程序只适用于较小的nm。题目没有说明nm的范围,所以我们在输入时提醒用户,nm不能太大。下面我们给出完整的Python代码。</think>### 生成 n 位 m 进制数 要生成并从小到大输出所有 n 位 m 进制数,需理解以下要点: 1. **m 进制定义**:每位数字取值范围为 $0$ 到 $m-1$,例如: - $m=2$(二进制):每位取 $0$ 或 $1$ - $m=10$(十进制):每位取 $0$ 到 $9$ - $m=16$(十六进制):每位取 $0-9$ 或 $A-F$ 2. **n 位要求**:必须包含前导零,例如 3 位二进制数需输出 $000$,而非 $0$ 3. **顺序要求**:按数值从小到大的字典序输出 #### 算法实现(Python) ```python def generate_n_digit_m_base(n: int, m: int) -> None: # 定义m进制字符集(0-9, A-Z) digits = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"[:m] # 初始化计数数组(全0) arr = [0] * n total = m ** n # 总数 for _ in range(total): # 将当前数组转为字符串 num_str = ''.join(digits[i] for i in arr) print(num_str) # 模拟进位操作 carry = 1 idx = n - 1 # 从最低位开始 while carry and idx >= 0: arr[idx] += carry if arr[idx] == m: arr[idx] = 0 # 重置当前位 idx -= 1 # 向高位进位 else: carry = 0 # 无进位时停止 ``` #### 算法说明 1. **初始化**:创建长度为 $n$ 的数组,初始值为 $0$,表示最小数 2. **进位模拟**: - 从最低位开始 $1$ - 若当前位等于 $m$,则归零并向高位进位 - 直至无进位或处理完所有位 3. **输出转换**:将数字数组映射为对应字符(如 $10→A$) #### 示例输出 ```python generate_n_digit_m_base(2, 3) # 2位3进制数 ``` 输出: ``` 00 01 02 10 11 12 20 21 22 ``` #### 时间复杂度 - 总迭代次数:$m^n$ - 单次操作复杂度:$O(n)$(最坏进位情况) - 总复杂度:$O(n \times m^n)$ #### 注意事项 1. **进制范围**:$m \leq 36$(因字符集限制) 2. **大数处理**:当 $n$ 或 $m$ 较大时(如 $n>10, m>10$),输出量指数级增长,需谨慎使用 3. **前导零保留**:确保输出固定 $n$ 位长度 ### 相关问题 1. 如果要求不输出前导零(例如 $001$ 输出为 $1$),算法应如何修改? 2. 如何优化算法以减少进位操作的平均时间复杂度? 3. 当 $m>36$ 时,如何扩展字符表示(如用两位十进制数表示一位)? 4. 如何将此算法应用于排列组合问题的暴力枚举? > 引用说明:算法参考了模拟进位的思想[^1],字符映射方法借鉴了进制转换的通用实现[^2]。 [^1]: 引用[1]中提到的矩阵赋值方法启发了进位操作的实现思路。 [^2]: 引用[2]中的数位分离方法被扩展用于进制字符映射。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值