编程金融小白学 股票期权 lv.3 PCP 平价

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编程金融小白学 股票期权

PCP

PCP 平价原理

• Put-Call Parity（PCP）
• 在欧式期权 标的资产不付红利的情况下

c 看涨期权
p 看跌期权
S 标的资产现价
X 现金
r 无风险利率
T 到期时刻
t 当前时刻

PCP 现货

• 组合

  1. 看涨期权 $c$ + 现金（行权价的无风险贴现值 $\frac{X}{1+r(T-t)}$）
  2. 看跌期权 $p$ + 标的资产 $S$

• 当到期时刻 T 时：

  • 当$S_T>X$: 组合1价值 $S_T$ 组合2价值 $S_T$
  • 当$S_T\le X$: 组合1价值 $X$ 组合2价值 $X$
  • 组合1 == 组合2

• 在无套利的情况下 当前t时刻的两个组合价值也应该相等

  • $c+\frac{X}{1+r(T-t)}=p+S$
  • 组合1 == 组合2

正向套利操作 （Forward）

$$\begin{array}{rl}c+\frac{X}{1+r(T-t)}& >p+S_0\\ \frac{X}{1+r(T-t)}& >p+S_0-c\\ X& >(p+S_T-c)\end{array}$$

• 卖出看涨期权($+c$)，买入看跌期权和股票($-p$)，借入所需资金($-S_0$)，最终需还 $(p+S_T-c)$ 终值
• 到期时，无论股指高于或低于行权价 $X$ ，投资者均以 $X$ 元卖出手中股票，获得 $X-S_T$，与手中股票多头抵消，最终获得 $X$
• 获利: $X-(p+S_T-c)$
• 若扣除 税费等其他因素 仍然赚钱 那么 这交易策略现实可行

反向套利操作 （Reversal）

$$\begin{array}{rl}c+\frac{X}{1+r(T-t)}& <p+S_0\\ \frac{X}{1+r(T-t)}& <p+S_{0}c\\ X& <(p+S_T-c)\end{array}$$

• 买入看涨期权($-c$)，卖出看跌期权和股票($+p$)，贷出资金($+S_0$)，最终收入 $(p+S_0-c)$ 终值
• 到期时，无论股指高于或低于行权价 $X$ ，投资者均以 $X$ 元买入期权股票，获得 $S_T-X$，与手中股票空头抵消，最终结果 $-X$
• 获利: $(p+S_T-c)-X$
• 若扣除 税费等其他因素 仍然赚钱 那么 这交易策略现实可行

PCP 期货套利

F 期货价格

• PCP 平价组合

$$c+\frac{X}{1+r(T-t)}=p+\frac{F}{1+r(T-t)}$$

• 期货 交易成本较低 流动性较好

策略构造

保护性看跌策略

• 情形：假如投资者 买入了一份股票 又担心它会下跌

• 股票多头 + 虚值或平价看跌期权多头

• 用 PCP 平价解释：

  • 买入股票 $S+p$ 买看跌期权 = 看涨多头 $c$
  • 所以构造出了看涨多头股票

• 使用上篇博客的代码绘图

def plotearn(x,y):
    plt.fill_between(x*(y<0),y*(y<0),color='lightskyblue',label='亏损')
    plt.fill_between(x*(y>0),y*(y>0),color='mistyrose',label='收益')

# 股票 + 平价看跌期权多头
buy = Option(3000,0)
o = 100 # 期权费
price = np.linspace(2500,3500,1001)
buy_put = buy.put_opt(price)
stock = price-3001
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=800)
plt.plot(price,stock,'--',color='green',label='股票')
plt.plot(price,buy_put,'--',color='blue',label='平价看跌期权多头')
plt.plot(price,buy_put+stock,'--',color='red',label=r'期权 $p+S$')
plt.plot(price,buy_put+stock-o,color='red',label=r'期权 $p+S-o$期权费')
plotearn(price,buy_put+stock-o)
buy.plotshow('保护性看跌（股票多头 + 平价看跌多头）')

# 股票 + 虚值看跌期权多头
buy_put_low = buy.put_opt(price+50) # 虚值看跌期权多头
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=800)
plt.plot(price,stock,'--',color='green',label='股票')
plt.plot(price,buy_put_low,'--',color='blue',label='虚值看跌期权多头')
plt.plot(price,buy_put_low+stock,'--',color='red',label=r'期权 $p+S$')
plt.plot(price,buy_put_low+stock-o+20,color='red',label=r'期权 $p+S-o$期权费') # 20为预估的差价
plotearn(price,buy_put_low+stock-o+20)
buy.plotshow('保护性看跌（股票多头 + 虚值看跌多头）')

• 策略特征
  • 收益无限 风险有限
  • 相对仅持有现货
    • 保留上升空间，保护下跌风险
    • 支付成本：盈亏平衡点提高，上涨时相对盈利少
• 适用情形：保守牛市预期
  • 用看跌期权多头保护股票价格下跌风险

备兑看涨策略

• 持有现货 卖出平价或虚值看涨期权

# 股票 + 平价看涨期权空头
sell = Option(3000,0,False)
sell_call = sell.call_opt(price)
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=800)
plt.plot(price,stock,'--',color='green',label='股票')
plt.plot(price,sell_call,'--',color='blue',label='平价看涨期权空头')
plt.plot(price,sell_call+stock,'--',color='red',label=r'期权 $S-c$')
plt.plot(price,sell_call+stock+o,color='red',label=r'期权 $S-c+o$期权费')
plotearn(price,sell_call+stock+o)
buy.plotshow('备兑看涨（股票多头 + 平价看涨空头）')

# 股票 + 虚值看涨期权空头
sell_call_high = sell.call_opt(price-50)
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=800)
plt.plot(price,stock,'--',color='green',label='股票')
plt.plot(price,sell_call_high,'--',color='blue',label='虚值看涨期权空头')
plt.plot(price,sell_call_high+stock,'--',color='red',label=r'期权 $S-c$')
plt.plot(price,sell_call_high+stock+o-20,color='red',label=r'期权 $S-c+o$期权费')
plotearn(price,sell_call_high+stock+o-20)
buy.plotshow('备兑看涨（股票多头 + 虚值看涨空头）')

• 策略特征

  • 收益有限而风险较大
  • 相对仅有现货
    • 下跌风险降低：增加收入；盈亏平衡点下降
    • 上升空间受限

• 适用情形

  • 增加收入（因各种原因无法出售）
  • 约束盈利离场价位

期权风险分析

• 期权价格同时受到 标的价格方向 和 波动率 的影响

• 期权空头：

  • 最大收益为期权费收入：大概率
  • 最大亏损无限或较大：小概率
  • 但小概率事件一旦发生，可能亏损严重
  • 保证金制度的约束（保证金不足需要追加）

• 期权多头：

  • 盈利时汇报率较高，且最大亏损为期权费收入
  • 亏损是大概率事件，且可能亏损 100%
  • 无保证金制度约束
  • 谨防虚值期权爆炒风险：期权与权证不同

Black-Scholes-Merton 公式

• 欧式定价基准模型
• 无红利欧式期权定价公式为例：

$$\begin{array}{rl}c& =SN(d_1)-X{e}^{-r(T-t)}N(d_2)\\ p& =X{e}^{-r(T-t)}N(-d_2)-SN(-d_1)\\ d_1& =\frac{\ln (S/X)+(r+{\sigma }^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}\\ & =\frac{\ln (\frac{S}{X})}{\sigma \sqrt{T-t}}+\frac{r}{\sigma }\sqrt{T-t}+\frac{\sigma }{2}\sqrt{T-t}\\ d_2& =\frac{\ln (S/X)+(r-{\sigma }^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}\\ & =d_1-\sigma \sqrt{T-t}\end{array}$$

c 看涨期权价格
p 看跌期权价格
S 标的资产现价
X 行权价
r 无风险利率
T 到期时刻
t 当前时刻
𝜎 波动率
N()为标准正态分布累积分布函数

• 和市场定价不符合因为它假设
  • 市场可复制和无套利
    • 可卖空、无税费、连续交易、证券可分
    • 无套利
  • 标的资产服从连续的几何布朗运动
    • 标的无跳动
    • 波动率为常数
    • 无风险利率为常数

B-S-M 运用

• 计算隐含的波动率
• 估计希腊字母（偏导）
• 定价基准

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