UVA-10635 LCS转化为LIS

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本文介绍了一种将最长公共子序列(LCS)问题转化为最长递增子序列(LIS)问题的高效算法，适用于两个序列中每个元素各不相同的情况。通过哈希变换将原始数据映射为新的序列，并利用LIS算法求解，降低了时间复杂度至O(nlogn)，文中还提供了完整的C++实现代码。

题意：给定两个序列一个长度为p+1，一个为q+1，求两序列的LCS，序列中每个数字不重复，最大值为n*n，n不大于250。

思路：每个数都不重复，所以可以将源数据和下标置换，对数列做一个哈希变换，另一个数列也做相同的变换就可以的到一个新的数列。可以转换为求新序列的LIS。时间复杂度就会降到O(nlogn)。原因可以这样思考，由于b中的数字是通过a的变换得到的，所以b的所有子集都是a的一个子集，但是顺序不确定。考虑b的LIS，它一定是a的一个子集，这个子集是a中从左到右的（b中的递增序列），所以一定是b和a的公共序列，由于LIS最长，所以是LCS。

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 300*300;

int dp[maxn];
int a[maxn],b[maxn];
int n,p,q;

int lis()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int len=1;
    dp[0]=b[0];
    for(int i=1;i<q+1;i++){
        int pos=lower_bound(dp,dp+len,b[i])-dp;
        dp[pos]=b[i];
        len=max(len,pos+1);
    }
    return len;
}

int main()
{
    int t,kase=1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d%d",&n,&p,&q);
        for(int i=0;i<p+1;i++){
            int tmp;
            scanf("%d",&tmp);
            a[tmp]=i+1;
        }

        for(int i=0;i<q+1;i++){
            int tmp;
            scanf("%d",&tmp);
            b[i]=a[tmp];
        }
        int ans=lis();
        printf("Case %d: %d\n",kase++,ans);
        /*for(int i=0;i<q+1;i++)
            printf("%d ",b[i]);
        printf("\n");*/
    }
    return 0;
}