二叉排序树

二叉排序树的递归查找算法：

BSTNode* SearchBSTNode(BSTNode T, ElemType key)

{

if (T == NULL)

return NULL;

if (key > T->data) //查找右子树

return SearchBSTNode(T->rchild, key);

else if (key < T->data) //查找左子树

return SearchBSTNode(T->lchild, key);

else

return T;

}

当然了，通过非递归方法也是可以的；

下面是非递归的算法：

BSTNode* Search_BST(BSTNode T, ElemType key)

{

while (T != NULL)

{

if (p->data == key)

return p; //等于根结点

p = (key < p->data) ? p->lchild : p->rchild; //进行左右子树的查找

}

return T;

}

二叉排序树的查找效率分析：

二叉排序树的查找效率主要取决于树的高度（分三种情况）；

1、若二叉排序树的左右子树高度之差的绝对值不超过1，则这样的二叉排序树成为平衡二叉树： 1 n ∑ n = 1 N ( 2 i + 1 ∗ i ) \frac1n\sum_{n=1}^N{(2{i+1}*i)} n1​n=1∑N​(2i+1∗i)

即它的平均查找长度为O( log ⁡ 2 n \log_2{n} log2​n)；

2、若二叉排序树为只有一个左子树或者右子树的单只树（类似于有序的单链表）： 1 n ∑ n = 1 N i \frac1n\sum_{n=1}^N{i} n1​n=1∑N​i

即其平均查找长度为O(n)；

3、若二叉排序树为正常二叉排序树，则其平均查找长度为 1 n ∑ n = 1 N n i c i \frac1n\sum_{n=1}^N{n_ic_i} n1​n=1∑N​ni​ci​

2.插入

---

首先要知道，二叉排序树作为一种动态树表，其特点就是树的结构通常不是一次生成的，而是在查找的过程中，当树种不存在关键字值等于给定值的结点时在进行插入的；

插入结点的过程：若原二叉树为空，则直接插入结点；否则，若关键字 k 小于根结点值，则插入到左子树，若关键字 k 大于根结点值，则插入到右子树。

【注】插入的结点一定是一个新添加的叶子结点，且是查找失败时的查找路径上访问的最后一个结点的左孩子或右孩子。

二叉排序树的插入算法：

int Insert_BST(BiTree &T, KeyType k)

{

if (T == NULL) //原树为空，新插入的记录为根结点

{

T = (BiTree*)malloc(sizeof(BSTNode);

T->key = k;

T->lchild = T->rchild = NULL;

return true;

}

else if (k == T->key)

return false; //存在相同关键字的结点，插入失败

else if (k < T->key)

return Insert_BST(T->lchild, k); //插入到左子树

else

return Insert_BST(T->rchild, k); //插入到右子树

}

3.二叉排序树的构造

---

二叉排序树的构造其实就是一个空树将元素依次进行插入到相应位置的过程；

构造二叉排序树的算法：

void Creat_BST(BiTree &T, KeyType str[], int n)

{

T == NULL; //初始化 T 为空树

int i = 0;

while(i < n){

Insert_BST(T, str[i]); //依次将每个关键字插入到二叉排序树中

i++;

}

}

4.删除

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在二叉排序树中删除一个结点时，不能把以该结点为根节点的子树上的结点都删除，必须先把被删除结点从存储二叉排序树的链表上摘下，将因删除结点二断开的二叉链表重新链接起来，同时需要保持二叉排序树的性质不会丢失。由此删除操作的实现过程按3种情况来处理（设被删除结点为 z ）：

1、删除结点为叶结点，直接删除；

2、删除结点只有一棵左子树或者右子树，则让 z 的子树成为 z 父结点的子树（即替代 z 位置）；

3、删除结点有左右两棵子树，则需要令 z 的直接后继或者直接前驱替代 z ，然后从二叉排序树中删去这个直接后继或直接前驱，这样就转化为第一或第二种情况了。

二叉排序树的删除算法如下：

void Delete_BSTNode( BiTree T, ElemType key)

{

BiTree p, q;

p = T;

ElemType temp;

while( NULL != p && key != p->data ) {

q = p;

if( key < p->data )

p = p->lchild ;

else

p = p->rchild ;

}

if( NULL == p )

printf(“无此元素!\n”);

else {

//情况1:结点p的双亲结点为q，且p为叶子结点，则直接将其删除。

if( NULL == p->lchild && NULL == p->rchild ) {

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