洛谷 P3978 [TJOI2015] 概率论 省选/NOI

题目描述

为了提高智商，ZJY 开始学习概率论。有一天，她想到了这样一个问题：对于一棵随机生成的 �n 个结点的有根二叉树（所有互相不同构的形态等概率出现），它的叶子节点数的期望是多少呢？

判断两棵树是否同构的伪代码如下：

算法 1Check(�1,�2)1Require:  两棵树的节点�1,�22if  �1=null or �2=null then 3return  �1=null and �2=null4else5return Check(�1→�������,�2→�������) and Check(�1→���ℎ����,�2→���ℎ����)6endif算法 1123456​Check(T1,T2)Require:  两棵树的节点T1,T2if  T1=null or T2=null then return  T1=null and T2=nullelsereturn Check(T1→leftson,T2→leftson) and Check(T1→rightson,T2→rightson)endif​​

输入格式

输入一个正整数 �n，表示有根树的结点数。

输出格式

输出这棵树期望的叶子节点数，要求误差小于 10−910−9。

输入输出样例

输入 #1

1

输出 #1

1.000000000

输入 #2

3

输出 #2

1.200000000

说明/提示

数据范围

对于 30% 的数据，1≤n≤10。

对于 70% 的数据，1≤n≤1001。

对于 100的数据，1≤n≤109。

解题思路:

首先，我们令��fn​表示�n个点的二叉树个数；��gn​表示�n个点的所有��fn​棵二叉树的叶节点总数。

找规律第一步当然是打表啦~写个爆搜或者手算都可以。

n	1	2	3	4	5	...
��fn​	1	2	5	14	42	...
��gn​	1	2	6	20	70	...

我们发现一个规律：��=���−1gn​=nfn−1​。

证明这个规律其实超级简单：

• 对于每棵�n个点的二叉树，如果里面有�k个叶节点，那么我们分别把这�k个叶子删去会得到�k棵�−1n−1个点的二叉树；
• 而每棵�−1n−1个点的二叉树恰好有�n个位置可以悬挂一个新的叶子，所以每棵�−1n−1个点的二叉树被得到了�n次；
• 综上，我们即可得出结论：所有�n个点的二叉树的叶子个数和等于�−1n−1个点的二叉树个数×�×n。

那么我们只需要求出�f即可。而�f的递推式可以通过枚举左子树结点个数得到：

��=∑�=1�−1����−�−1fn​=i=1∑n−1​fi​fn−i−1​

边界是�1=1f1​=1。应该可以一眼看出来这是Catalan数列（其实一看那个1,2,5,14,421,2,5,14,42就应该知道，滑稽）

于是答案即为

����=���−1��fn​gn​​=fn​nfn−1​​

代入卡特兰数的通项公式��=(2��)�+1fn​=n+1(n2n​)​很容易就得到上式等于�(�+1)2(2�−1)2(2n−1)n(n+1)​。

代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    double n;
    scanf("%lf",&n);
    printf("%.9f",n*(n+1)/(2*(2*n-1)));
    return 0;
}

拜拜！