HDU 6146 Pokémon GO（dp+组合数学）

Description

一个$2\times n$的棋盘，一个格子只能走向与其某维坐标差$1$的格子，问有多少条路径可以走遍所有格子

Input

第一行一整数$T$表示用例组数，每组用例输入一个整数$n(1\le T\le 100,1\le n\le 10000)$

Output

对于每组用例，输出方案数，结果模$10^9+7$

Sample Input

3
1
2
3

Sample Output

2
24
96

Solution

令$f(n)$为从$2\times n$的棋盘左上角出发，遍历所有格子后回到左下角的方案数，$g(n)$为从$2\times n$的棋盘左上角出发，遍历所有格子的方案数，则$f(1)=1,g(1)=1,g(2)=6$($2\times 2$的棋盘任意两点可达，故方案数即为除左上角的三个格子的排列数)

先求$f(n)$，为使从左上角出发可以回到左下角，左上角第一步需要走到第二列的某个格子，然后遍历后$n-2$列后回到第二列的另一个格子然后再回到左下角，故有$f(n)=2\cdot f(n-1)$

再求$g(n)$，考虑左下角的格子是第几个被经过的，如果是第二个被经过的，那么第一列被遍历，要走到第二列的某个格子然后遍历后$n-1$列，方案数$2\cdot g(n-1)$，如果是第三个被经过的，那么第一步是从左上角走到第二列的某个格子，然后从这个格子走到左下角，再从左下角走到第二列剩下的一个格子里，再从这个格子走到第三列某个格子去遍历后$n-2$个格子，方案数$4\cdot g(n-2)$，否则左下角只能是最后一个被经过的，方案数即为从左上角遍历所有格子回到左下角的方案数$f(n)$，故有$g(n)=f(n)+2\cdot g(n-1)+4\cdot g(n-2)$

求出$f(n),g(n)$后，考虑求答案，如果起点在四个角的某一个，方案数为$g(n)$，对答案贡献$4\cdot g(n)$，如果起点在中间，枚举起点所在列$i$，第$i$列可以有两个起点，如果先往左走那么需要遍历前$i$列后回到第$i$列然后走到第$i+1$列后遍历后$n-i$列，方案数$4\cdot f(i)\cdot g(n-i)$，如果先往右走那么需要遍历后$n-i+1$列后回到第$i$列然后走到第$i-1$列后遍历前$i-1$列，方案数$4\cdot f(n-i+1)\cdot g(i-1)$，故$ans=4\cdot g(n)+4\cdot \sum\limits_{i=2}^{n-1}(f(i)\cdot g(n-i)+f(n-i+1)\cdot g(i-1))$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 10005 
#define mod 1000000007
ll f[maxn],g[maxn];
void init(int n=10000)
{
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000;i++)f[i]=f[i-1]*2%mod;
    g[1]=1;g[2]=6;
    for(int i=3;i<=10000;i++)g[i]=(f[i-1]*2+g[i-1]*2+g[i-2]*4)%mod;
}
int main()
{
    init();
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        if(n==1)printf("2\n");
        else
        {
            ll ans=g[n]*4%mod;
            for(int i=2;i<n;i++)
                ans=(ans+(f[i]*g[n-i]+f[n-i+1]*g[i-1])*4%mod)%mod;
            printf("%I64d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}