[HDU - 2844] Coins (多重背包)

本文介绍了一种使用多重背包算法解决特定硬币组合问题的方法。通过分析不同面值硬币的数量来确定可组成的总面额种类,重点讲解了状态转移过程,并提供了一个C++实现示例。
链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2844

题意

给你 n n n种硬币,第 i i i种硬币有一个 A i A_i Ai以及一个 C i C_i Ci,代表面值为 A i A_i Ai的硬币有 C i C_i Ci个,现在问你这些硬币可以组成多少种面额,(可以拼成的最大面额不超过m),即如 3 3 3 1 1 1元硬币,可以组成 3 3 3元、 2 2 2元、 1 1 1元共三种面额;

分析

  这里使用多重背包;
  背包容积为 m m m,硬币的面值为体积,这里是一个可行性问题,而不是最优化问题,即没有求最大值最小值等问题, d p [ j ] dp[j] dp[j]表示使用前 i i i种物品是否能拼成面值 j j j,这个值要么为 1 1 1要么为 0 0 0,为 1 1 1表示可以拼成,否则不能拼成, d p dp dp的状态转移过程可以通过或运算实现,第 i i i阶段 d p [ j ] dp[j] dp[j]若为 1 1 1,那么有两种可能,要么是第 i − 1 i-1 i1阶段的 d p [ j ] dp[j] dp[j]已经为 1 1 1,要么是在第 i i i阶段的递推过程中,选择使用第 i i i种硬币,导致恰好可以拼成 j j j的面值;
  关键还是多重背包的三种思想;

代码
#include <functional>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>

#define INF 0x7f7f7f7f
#define MAXN 100005
#define N 200005
#define P 2
#define MOD 99991

typedef long long ll;

namespace fastIO {
    #define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1<<22, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
    char buf[(1 << 22)], *p1 = buf, *p2 = buf;
    inline int read() {
        char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
        while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }
        while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
        return x * f;
    }
}

using namespace fastIO;
using namespace std;

int n, m, a[104], c[105], dp[MAXN];
int main() {
    while (cin >> n >> m, n, m) {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> c[i];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 如背包容量10,而第i种物品数量为15,价值为1
            int num = min(c[i], m / a[i]);
            for (int j = 1; num > 0; j <<= 1) {
                if (j > num)j = num;
                num -= j;
                for (int k = m; k >= j * a[i]; k--)
                    dp[k] |= dp[k - j * a[i]];
            }
        }
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            res += dp[i];
        cout << res << endl;
    }
}
内容概要:本文系统介绍了算术优化算法(AOA)的基本原理、核心思想及Python实现方法,并通过图像分割的实际案例展示了其应用价值。AOA是一种基于种群的元启发式算法,其核心思想来源于四则运算,利用乘除运算进行全局勘探,加减运算进行局部开发,通过数学优化器加速函数(MOA)和数学优化概率(MOP)动态控制搜索过程,在全局探索与局部开发之间实现平衡。文章详细解析了算法的初始化、勘探与开发阶段的更新策略,并提供了完整的Python代码实现,结合Rastrigin函数进行测试验证。进一步地,以Flask框架搭建前后端分离系统,将AOA应用于图像分割任务,展示了其在实际工程中的可行性与高效性。最后,通过收敛速度、寻优精度等指标评估算法性能,并提出自适应参数调整、模型优化和并行计算等改进策略。; 适合人群:具备一定Python编程基础和优化算法基础知识的高校学生、科研人员及工程技术人员,尤其适合从事人工智能、图像处理、智能优化等领域的从业者;; 使用场景及目标:①理解元启发式算法的设计思想与实现机制;②掌握AOA在函数优化、图像分割等实际问题中的建模与求解方法;③学习如何将优化算法集成到Web系统中实现工程化应用;④为算法性能评估与改进提供实践参考; 阅读建议:建议读者结合代码逐行调试,深入理解算法流程中MOA与MOP的作用机制,尝试在不同测试函数上运行算法以观察性能差异,并可进一步扩展图像分割模块,引入更复杂的预处理或后处理技术以提升分割效果。
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