[HDU - 2844] Coins (多重背包)

多重背包问题解析

最新推荐文章于 2022-09-09 22:07:37 发布

chagelo

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分类专栏： ACM

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本文介绍了一种使用多重背包算法解决特定硬币组合问题的方法。通过分析不同面值硬币的数量来确定可组成的总面额种类，重点讲解了状态转移过程，并提供了一个C++实现示例。

链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2844

题意

给你 $n$ 种硬币，第 $i$ 种硬币有一个 $A_i$ 以及一个 $C_i$ ，代表面值为 $A_i$ 的硬币有 $C_i$ 个，现在问你这些硬币可以组成多少种面额，（可以拼成的最大面额不超过m），即如 $3$ 个 $1$ 元硬币，可以组成 $3$ 元、 $2$ 元、 $1$ 元共三种面额；

分析

这里使用多重背包；
背包容积为 $m$ ，硬币的面值为体积，这里是一个可行性问题，而不是最优化问题，即没有求最大值最小值等问题， $d p [j]$ 表示使用前 $i$ 种物品是否能拼成面值 $j$ ，这个值要么为 $1$ 要么为 $0$ ，为 $1$ 表示可以拼成，否则不能拼成， $d p$ 的状态转移过程可以通过或运算实现，第 $i$ 阶段 $d p [j]$ 若为 $1$ ，那么有两种可能，要么是第 $i - 1$ 阶段的 $d p [j]$ 已经为 $1$ ，要么是在第 $i$ 阶段的递推过程中，选择使用第 $i$ 种硬币，导致恰好可以拼成 $j$ 的面值；
关键还是多重背包的三种思想；

代码

#include <functional>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>

#define INF 0x7f7f7f7f
#define MAXN 100005
#define N 200005
#define P 2
#define MOD 99991

typedef long long ll;

namespace fastIO {
    #define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1<<22, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
    char buf[(1 << 22)], *p1 = buf, *p2 = buf;
    inline int read() {
        char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
        while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }
        while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
        return x * f;
    }
}

using namespace fastIO;
using namespace std;

int n, m, a[104], c[105], dp[MAXN];
int main() {
    while (cin >> n >> m, n, m) {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> c[i];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 如背包容量10，而第i种物品数量为15，价值为1
            int num = min(c[i], m / a[i]);
            for (int j = 1; num > 0; j <<= 1) {
                if (j > num)j = num;
                num -= j;
                for (int k = m; k >= j * a[i]; k--)
                    dp[k] |= dp[k - j * a[i]];
            }
        }
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            res += dp[i];
        cout << res << endl;
    }
}