动态规划：从递归到DP的理解-优快云博客

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本文通过斐波那契数列的例子，详细解释了动态规划（DP）的概念，从朴素的递归算法出发，过渡到记忆化搜索，再到DP的自底向上解法。介绍了DP的最优子结构、状态转移方程、边界和重叠子问题，并讨论了DP与记忆化搜索在时间复杂度和空间复杂度上的区别，以及在解题中的应用。

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从递归到DP

那么，首先让我们看一看什么是DP（动态规划）

百度百科曰：

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼¹（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果

你看懂了么？

~~实话告诉你，我也没看懂。~~

那那那那那那么，就让我们从斐波那契数列一步一步到DP吧

朴素的递归算法

某年某月某日，在朔月的带领下，我学会了递归。于是，我就用递归写了一个斐波那切数列：

int f(n){
   
   
    if (n == 0){
   
   
        return 0;
    }
    if (n == 1){
   
   
        return 1;
    }
    return f(n-1) + f(n-2);
}

于是，让我们计算一下本代码的时间复杂度：

……

最终，我们得到，递归的时间复杂度是：
$O(2^n)$
啊啊（脑补）

从递归到记忆化搜索

又是在某年某月某日，在 Thijs_Bitkid的带领下，我又学会了记忆化搜索。于是就有：

int memory[10005] = {
   
   0};
int f(n){
   
   
    if (memory[n]){
   
   
        return memory[n];
    }
    if (n == 0){
   
   
        memory[n] = 0;
        return 0;
    }
    if (n == 1){
   
   
        memory[n] = 1;
        return 1;
    }
    memory[n] = f(n-1) + f(n-2);
    return memory[n];
}