[信号处理]从傅里叶到小波_主瓣是低频分量还是高频分量-优快云博客

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序言：学期更博主上线！上篇完成小波分析的学习心得，记录了一些经典的小波分解方法。之后不知不觉已经过去小半年了，这段时间真是发生了不少事情。这里记录一下：1.单身了；2.债还了；3.小论文中了；4.工作签了。现实中太多自己无法控制的事情了，知识的采撷反而是最简单的，因为它就在那里。学习简单纯粹却不易，共勉~

【看山是山】

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶：傅里叶变换的祖师爷，他在研究热传导问题时提出了傅里叶级数的概念，这是将周期函数表示为正弦和余弦函数的和的方法。他的工作最初在1807年的论文《热的传播》中被提出，尽管最初被巴黎科学院拒绝，但后来在修改后获得科学院大奖。傅里叶的工作最终在1822年的专著《热的解析理论》中得到发表，这本书对19世纪分析严格化的进程产生了深远影响。后来，

傅里叶变换的数学基础：19世纪，数学家如彼得·古特里（Peter Guthrie Tait）和约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）对傅里叶级数进行了进一步的研究，狄利克雷（Johann Dirichlet）给出了傅里叶级数收敛的满意证明。
快速傅里叶变换（FFT）：20世纪60年代，詹姆斯·W·库利（James W. Cooley）和约翰·W·图基（John W. Tukey）独立提出了快速傅里叶变换算法，极大地提高了傅里叶变换的计算效率，使其在数字信号处理领域得到广泛应用。
离散傅里叶变换（DFT）：在数字信号处理中，离散傅里叶变换是傅里叶变换的离散时间版本，它允许计算机等数字设备处理数字信号。
数字信号处理的发展：随着计算机技术的发展，数字信号处理成为可能，傅里叶变换在这一领域中发挥了关键作用，特别是在滤波、信号压缩、频谱分析等方面。
小波变换：在20世纪80年代，小波变换作为一种新的信号分析工具被提出，它提供了一种能够同时在时间和频率上局部化分析信号的方法，是对傅里叶变换的重要补充。

傅里叶变换交互式入门

【FFT】信号处理——快速傅里叶变换【通俗易懂】-优快云博客

傅里叶变换的核心思想是：任何周期性信号都可以分解成多个不同频率的正弦波或余弦波的叠加。

有关知识：多项式、复数、欧拉公式、点积、基函数、卷积、希尔伯特空间、泛函、、、

这篇文章介绍了傅里叶级数(FS)、傅里叶变换(FT)、离散傅里叶级数(DFS)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散傅里叶变换(DFT)、快速傅里叶变换(FFT)，可以窥一斑而知全豹。

有关应用：通信、图像处理、音频分析、振动信号处理、、、

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【看山不是山】

1. 傅里叶变换

连续时间信号的傅里叶变换公式： $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$

离散时间信号的傅里叶变换公式（DTFT）： $F(e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n] e^{-j\Omega n}$

离散傅里叶变换（DFT）公式： $F[k] = \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-j2\pi \frac{kn}{N}}$

既然傅里叶分析在信号处理中那么强大，信号处理的大厦是不是已经建成了。NO，因为现实中信号是复杂多变的，缝缝补补又百年。

采样定理：傅里叶变换要求信号是周期性的，对于非周期信号会产生频谱泄漏效应，导致频谱分析结果不准确。采样定理指出，为了避免混叠，信号的采样频率必须至少是信号最高频率的两倍。如果采样频率不足，高频成分将被混叠到低频成分中，导致频谱失真。
全局性：傅里叶变换是一种全局变换，它将整个信号转换到频域，这意味着无法单独研究信号的某个特定部分。对于非平稳信号（即信号的统计特性随时间变化），傅里叶变换无法提供信号在不同时间尺度上的变化的详细信息。对于突变信号，会有Gibbs(吉布斯)效应，由于三角函数系数衰减缓慢，所以需要大量三角函数去逼近，会出现许多虚假频谱。
时域-频域不确定性：傅里叶变换满足时域-频域不确定性原理，这意味着无法同时准确测量信号在时域和频域上的所有细节。如果我们将信号在时域上的窗口缩小，对应的频域表示会变得更宽，反之亦然，这使得傅里叶变换在同时提供时域和频域信息时存在一些模糊性。
频率混叠：如果采样频率不满足采样定理，即低于信号最高频率的两倍，会导致高频信号成分混叠到低频部分，从而无法正确恢复原始信号。
非平稳信号分析困难：傅里叶变换对非平稳信号（信号的统计特性随时间变化）的分析能力有限，因为它提供的是整个信号的频率分析，而不是随时间变化的频率分析。

傅里叶变换的缺点正是其特点，转换到频域上的信号失去了时间信息。例如三种不同频率的信号发生在不同的时间，与三种信号在同一时间发生，在频域上区别不大，但在时域上完全不相同。既要时间又要频域上的信息，一定会造成信息的丢失，这是海森堡不确定性的体现。

那么有了缺点就要改进了，这里就出来了短时傅立叶变换，也叫加窗傅立叶变换，顾名思义，就是因为傅立叶变换的时域太长了，所以要弄短一点，这样就有了局部性。

2. 短时傅里叶变换

短时傅里叶： $V(x)(t,\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\tau) \phi^*(\tau) e^{-j\omega t} d\tau$

其中， $V(x)(t,\tau)$ 是STFT的复数表示， $x(t)$ 是时域信号， $\phi(t)$ 是窗函数， $\tau$ 是窗函数的平移量， $t$ 是观察的时间点。

特点：

频谱泄露：由于信号截断和窗函数的应用，信号的真实频谱可能会在不应出现的频率处产生泄漏，导致频谱分析结果不准确。
栅栏效应：在频域中，由于DFT的离散性，可能会丢失一些重要的频率信息，这种现象称为栅栏效应。通过增加信号的采样点数可以减少栅栏效应的影响。
旁瓣效应：在频域中，主瓣旁边的旁瓣可能会掩盖掉一些弱信号，这通常与窗函数的选择有关。选择合适的窗函数可以减少旁瓣的影响。
窗函数选择：在进行傅里叶变换之前，通常需要对信号进行窗函数处理以减少频谱泄露。不同的窗函数有不同的频谱特性，选择合适的窗函数对于分析结果至关重要。

短时傅里叶变换中，窗口的大小是固定的，窗宽度（取决于t），这与频率w是相互独立的，但是要是要求提取特定频率（较小的频率分辨率）就需要窗函数在时间上有一定的宽度（ $\Delta f=1/t$ ），但是窗函数太大就会导致时域上不够精细，造成时域分辨率过低。我觉得本质上还是因为傅里叶变化使用的是正弦函数，这些基函数在整个定义域区间有定义，所有的基函数在该点都可能取值，就导致局部函数表示效率低劣。所以它还是不能很好的满足非稳定信号的处理需求。

为了解决短时傅里叶变换中出现的问题，（换基函数）就出现了小波变换（Wavelet Transform），它在时域和频域上都有相当高的分辨率，不仅可以告诉我们信号中存在哪些频率，同时还能告诉不同频率出现的具体时刻。这通过使用不同的缩放实现。【STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间】

3. 小波变换

连续小波变换： $W(a,b) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \psi^* \left( \frac{t-b}{a} \right) \frac{dt}{a}$

离散小波变换： $W[j,k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \psi_{j,k}^*[n]$

其中， $W(a,b)$ 是小波变换的复数表示， $x(t)$ 是时域信号， $\psi(t)$ 是小波函数， $a$ 是尺度参数（伸缩/频率）， $b$ 是位置参数（平移/时间）。

基函数的伸缩、平移（本质上是正交基的分解）。缩得窄，对应高频；缩的宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一尺度（伸缩）下成出来的结果，就可以理解成信号所包含得当前尺度对应得频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因此此时二者有一种重合关系。那么就知道信号得频率（对应此时基函数的尺度）

不同在于所使用的基函数不同。小波变换将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。在小波变换：尺度（对应频率）和平移量（对应时间），伸缩和平移时，不仅知道信号的频率成分，还知道对应的时域位置。 当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。

从数学的角度理解，在小波变换中，一个位于希尔伯特空间中的函数，可以分解成一个尺度函数和一个小波函数，其中尺度函数对应原始函数中的低频部分，小波函数对应原始函数中的高频部分。通过尺度函数可以构建对原始信号的低通滤波器，通过小波函数可以构建对原始信号的高通滤波器。

从信号处理的角度理解，在小波变换中，信号可通过信号滤波器分解为高频分量（高频子带(subband)）和低频分量（低频子带(subband)），高频子带又称为细节（detailed）子带，低频子带又称为近似（approximate）子带。细节子带是由输入信号通过高通滤波器后再进行下采样得到的，近似子带是由输入信号通过低通滤波器后再进行下采样得到的。

【看山还是山】

[信号处理]小波分析学习心得第一篇_脉冲信号与母函数的相似度-优快云博客

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