[NOIP模拟赛]同色齿轮问题

题目描述
给出N个被染成红色，绿色或蓝色的齿轮，求至少删除多少个齿轮才可以满足以下三个条件：
1.给每个颜色分配一个方向（顺时针或逆时针）。
2. 相同颜色的齿轮必须按照 相同的方向旋转。
3.这些齿轮中存在着若干对咬合关系，具有咬合关系的齿轮必须按照 相反方向旋转， 保证不存在两个颜色相同的齿轮具有咬合关系。

输入一个表示齿轮颜色的字符串和一个表示咬合关系的矩阵，输出最少的齿轮个数。

输出格式
第1行：1个字符串，表示N个齿轮的颜色。注意，N并没有显式给出，由本字符串的size()确定

接下来N行，每行一个长度为N的字符串，表示齿轮之间的咬合关系，第i行的第j个字符串为‘Y’，表示第i个齿轮与第j个齿轮咬合。

输出格式

第1行：一个整数N（1≤N≤50），表示最少删除的齿轮的个数

输入样例
RGB
NYY
YNY

YYN

输出样例

1

样例说明
3个异色齿轮相互咬合，无法转动。删除任意一个，则另外两个可以转动，且符合限制条件。

 

题解
三种颜色的齿轮全部转向一样的方案一定不会优于让其中一种颜色的齿轮反向旋转的方案，因为在三种颜色的齿轮同向旋转的方案中，将一种颜色的齿轮转向一定不会让结果变劣，因为这不会产生更多的转向相同的咬合关系。

可以设目前状态是两种颜色逆时针旋转，一种颜色顺时针旋转。顺时针旋转的那一种可忽略，因为它与另外两种不会出现转向相同的咬合关系。所以问题转化为解决2种颜色之间的咬合关系。按2种颜色的咬合关系建一个二分图，将问题转化为二分图最大独立集问题。可用匈牙利匹配或网络流解决。

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=55;

int n, col[N];
void Color() {
	for( char c=getchar(); ; c=getchar() ) {
		if( c=='R' ) col[++n]=0;
		else if( c=='G' ) col[++n]=1;
		else if( c=='B' ) col[++n]=2;
		else break;
	}
}

bool map[N][N];
char ch[N];
void Build() {
	for( int i=1; i<=n; i++ ) {
		scanf( "%s", ch+1 );
		for( int j=1; j<=n; j++ )
			if( ch[j]=='Y' ) map[i][j]=1;
	}
}

int can[N], link[N];
bool vis[N];
int DFS( int r ) {
	for( int i=1; i<=n; i++ )
		if( !vis[i] && can[i] && map[r][i] ) {
			vis[i]=1;
			if( !link[i] || DFS(link[i]) ) {
				link[i]=r; return 1;
			}
		}
	return 0;
}

int other, X, Y, sum;
int Match() {
	memset( link, 0, sizeof link );
	for( int i=1; i<=n; i++ )
		if( col[i]!=other ) can[i]=1;
		else can[i]=0;
	int ret=0;
	for( int i=1; i<=n; i++ )
		if( col[i]==X ) {
			memset( vis, 0, sizeof vis );
			ret+=DFS(i);
		}
	return ret;
}

int Solve() {
	sum=n;
	for( int i=0; i<3; i++ ) {
		other=i; X=(i+1)%3; Y=(i+2)%3;
		sum=min( sum, Match() );
	}
	return sum;
}

int main() {
	Color();
	Build();
	printf( "%d\n", Solve() );
	return 0;
}