斗地主不算花色算大小王，起初发到的17张牌有多少种？

最新推荐文章于 2025-11-10 17:54:06 发布

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#动态规划 #斗地主 #种类数

本文详细解析使用动态规划算法解决扑克牌组合问题，包括初始状态设定、递推公式构建以及边界条件处理，最终得出不同情况下组合数的计算方法，并通过代码实现验证结果。

2015-02 初写

用动态规划算法来求，设 $d p [j]$ 表示选了 $j$ 张牌的种类数

起初 $d p [j] = 0 (j > 0) ， d p [0] = 1$

第一层枚举牌的种类 $A - K$ ，第二层倒着枚举当前选了 $j$ 张 $(1 = < j < = 17)$ ，第三层 $d p [j]$ 由 $d p [j - k]$ 更新而来 $(1 = < k < = 4 ， j - k > = 0)$

如果大小王都不在，则有 $d p [17]$ 种；如果大小王只有一个，则有 $d p [16]$ 种；如果大小王都在，则有 $d p [15]$ 种。所以 $ans=dp[17]＋2×dp[16]+dp[15]ans=dp[17]＋2\times dp[16]+dp[15]$

#include<cstdio>
#include<cstring>
int dp[20],ans;//dp[j]表示选j张牌的种类数
int main(){
    memset(dp,0,sizeof(int));
    dp[0]=1;
    for(int i=1;i<=13;i++){//A-K
        for(int j=17;j>=1;j--){
            for(int k=1;k<=4;k++){
                if(j-k>=0) dp[j]=dp[j]+dp[j-k];
            }
        }
    }
    ans=dp[17]+2*dp[16]+dp[15];
    printf("ans=%d\n",ans);
}

最终求得，斗地主不算花色算大小王，起初发到的17张牌有58684015种

2020-11 更新

时隔5年了，一想当初还是个稚嫩的大二学生，现在已经是个工作三年的润滑油了，上面这道题回顾了一下，一开始总觉得哪里不对，为什么 j 是倒着数的？这个很影响直观感觉，我们统计牌的时候，不应该是先从1开始算吗？dp[0]表示不选的方案为1，这个没问题，dp[1]很明显是13嘛，dp[2]呢？可以推导出来的，为什么 j 是从 17 开始到 1 的，而不是从 1 开始到 17 的呢？

为了节省篇幅，我就不贴 for (int j = 1; j <= 17; j ++) 的代码了，总之改完后算出来结果是 85590206143，比 58684015 大很多，这已经超过了 int 范围了，算出来结果后我马上意识到问题所在，j 如果从 1 开始到17，意味着结果中无法保证每种花色最多只选 4 个牌，是错误的计算方法

而 j 从 17 开始到 1 是正确的，这里我就不具体画图说明了，只文字解释一下

dp[0] 表示不选，方案数为1
for (int i = 1; i <= 13; i ++) 表示选A-K某一种牌（在统计中A-K是等价的）
for (int j = 17; j >= 1; j --) 表示从17张牌开始，倒着枚举，配合后面的 for (int k = 1; k <= 4; k ++)，希望从 dp[j - k] 的方案数更新于 dp[j] 的方案数（当然 j - k >= 0）
对于A来说，也就是 i = 1 循环结束后，dp[0] = 1，dp[1] = 1，dp[2] = 1，dp[3] = 1，dp[4] = 1，表示5种情况
对于2来说，也就是 i = 2 循环结束后
- dp[0] = 1
- dp[1] = 2 = 1 + 1（j=2,k=0）
- dp[2] = 3 = 1 + 1（j=2,k=0）+ 1（j=1,k=1）
- dp[3] = 4 = 1 + 1（j=3,k=0）+ 1（j=2,k=1）+ 1（j=1,k=2）
- dp[4] = 5 = 1 + 1（j=4,k=0）+ 1（j=3,k=1）+ 1（j=2,k=2）+ 1（j=1,k=3）
- dp[5] = 4 = 1（j=4,k=1）+ 1（j=3,k=2）+ 1（j=2,k=3）+ 1（j=1,k=4）
- dp[6] = 3 = 1（j=4,k=2）+ 1（j=3,k=3）+ 1（j=2,k=4）
- dp[7] = 2 = 1（j=4,k=3）+ 1（j=3,k=4）
- dp[8] = 1 = 1（j=4,k=4）
对于3、4、5、…、10、J、Q、K来说，一样可以如上列举

上面就是基本思路的展开说明，下面我们来通过搜索方法验证一下吧，由于工作中是用的JAVA了，就用JAVA来写了

package algorithm;

public class DouDiZhu1 {

    static long[] dp = new long[18];

    static int[] used = new int[14];

    static void clear() {
        for (int i = 0; i < 18; i ++) {
            dp[i] = 0;
        }
        for (int i = 1; i <= 13; i ++) {
            used[i] = 0;
        }
    }

    static void dfs(int dep, int last) {
        dp[dep] += 1;
        if (dep == 17) {
            return;
        }
        for (int i = last; i <= 13; i ++) {
            if (used[i] < 4) {
                used[i] += 1;
                dfs(dep + 1, i);
                used[i] -= 1;
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        clear();
        dfs(0, 1);
        for (int i = 0; i < 18; i ++) {
            System.out.println("dp[" + i + "]=" + dp[i]);
        }
        long ans = dp[17] + 2 * dp[16] + dp[15];
        System.out.println("ans:" + ans);
    }
}

输出结果

dp[0]=1
dp[1]=13
dp[2]=91
dp[3]=455
dp[4]=1820
dp[5]=6175
dp[6]=18395
dp[7]=49205
dp[8]=120055
dp[9]=270270
dp[10]=566280
dp[11]=1111760
dp[12]=2056210
dp[13]=3598180
dp[14]=5978570
dp[15]=9459840
dp[16]=14289015
dp[17]=20646145
ans=58684015

搜索的结果也是58684015，这下可以确信了