深蓝学院移动机器人路径规划笔记-图搜索

Graph Search

包含以下四部分：

1. Graph Search Basis
2. Dijkstra and A*
3. Jump Point Search
4. Homework

Graph Search Basis

Configuration Space

C-空间： 可以阅读机器人学书籍学习，该知识针对机械臂这类高维空间里的运动规划很重要。
思想： 简单而言，就是为了将机器人描述为空间（不一定是欧式空间，可以是非欧式空间的表达）中的一个点。

Search-based Method

• Graphs have nodes and edges.
• State space graph: a mathematical representation of a search algorithm.

1. For every search problem, there’s a corresponding state space graph.
2. Connectivity between nodes in the graph is represented by (directed
   or undirected) edges.
   

使用栅格地图表示图，栅格地图本身可以作为图：
Grid-based graph: use grid as vertices and grid connections as edges

使用PRM采样生成图：

Graph Search Overview

The search always start from start state $X_s$

• Searching the graph produces a search tree
• Back-tracing a node in the search tree gives us a path from the start state to that node
• For many problems we can never actually build the whole tree, too large or inefficient – we only want to reach the goal node asap.
  
                  将图转换为树结构

算法三个步骤：

• Maintain a container to store all the nodes to be visited
• The container is initialized with the start state Xs
• Loop
	1. Visit：Remove a node from the container according to some pre-defined score function
		- Visit a node
	2. Expansion: Obtain all neighbors of the node
		- Discover all its neighbors
	3. Add：Push them (neighbors) into the container
• End Loop

算法的三个问题：
• Question 1: When to end the loop?

• Possible option: End the loop when the container is empty
• 除了上述的，可以采取不同的终止条件，比如到达目的地。

• Question 2: What if the graph is cyclic?

• When a node is removed from the container (expanded / visited), it should never be added back to the container again
• 因此，在程序中，除了维护一个储存将来所有可能会访问的节点的container，还维护一个储存已访问点的container。

• Question 3: In what way to remove the right node such that
the goal state can be reached as soon as possible, which
results in less expansion of the graph node.

• 解决这个问题就是我们算法的关键：效率，快速。

Graph Traversal

图的遍历是算法的基础。
目前常见的两种算法是深度优先搜索和宽度优先搜索。

Breadth First Search (BFS) vs. Depth First Search (DFS)

两种遍历方法对比如下：

BFS的容器模型是队列（queue），遵循先进先出原则。所以，先进的节点会先出来。
DFS的容器模型是栈（stack），遵循后进先出原则。所以，后进的节点会先出来。

Depth First Search (DFS)

                DFS在搜索中的原理

Breadth First Search (BFS)

                BFS在搜索中的原理

BFS vs. DFS: which one is useful?

                DFS vs. BFS在搜索中的对比

• BFS在遍历到目标时，可通过回溯找到最短路径。为什么是最短路径？从图BFS在搜索中的原理 可知，BFS从顶层逐层搜索下层，因此，最终回溯到的路径将是最短的。
• DFS “一路走到黑”，搜索到目标时便停止搜索，当存在多条目标路径时，很有可能搜索出来的目标路径是非优的甚至很差。
• 因此，后面的算法会以BFS为基础遍历节点。

Heuristic search

启发式算法，以贪心算法为例。
启发式算法与DFS、BFS区别：

• BFS and DFS pick the next node off the frontiers based on which was “first in” or “last in”.
• Greedy Best First picks the “best” node according to some rule, called a heuristic.

Greedy Best First Search

• Definition: A heuristic is a guess of how close you are to the target.
• guess: 在找到解之前，我们无法得知实际的最近距离，所以，只是一种当下猜想。
  
  对于上图，加入我们想要猜测期待到最短的距离，通常可以采用两种方法
• 欧氏距离（Euclidean Distance）：直线
• 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：▲x + ▲y

启发式算法的好处：

• A heuristic guides you in the right direction.
• A heuristic should be easy to compute.

问题：
如何设计一个好用的启发式函数呢？

对比上面两种情况来看，在复杂情况下（障碍物）贪心算法不一定能找到很好的路径。但这并不意味着贪心算法毫无用处，我们仍然可以借鉴它的思想设计出更好的启发式算法。

Dijkstra and A*

Costs on Actions

• A practical search problem has a cost “C” from a node to its neighbor
  • Length, time, energy, etc.
• When all weight are 1, BFS finds the optimal solution
• For general cases, how to find the least-cost path as soon as possible？

在之前的算法里，我们没有考虑边的代价问题。为了解决这个问题，提出了Dijkstra and A*算法。