快速幂与矩阵快速幂详解-优快云博客

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1.快速幂

快速幂也叫二进制取幂，想要快速求出 $a^n$ 的结果就用它来求。

$a^n$ 表示将n个a乘在一起，时间复杂度是O(n) 级别，如果n太大的话这种方法就不适用了。

如果使用快速幂，时间复杂度能达到O( $log_2$ n)，因为n有⌊ $log_2$ n⌋ + 1 个二进制位，所以当知道了每一位的值后，只需要通过 $log_2$ n次乘法就可计算出 $a^n$ 。

用快速幂进行计算
例如计算 $a^9$ ，9的二进制是1001， 9 = 1 × $2^0$ + 0 × $2^1$ + 0 × $2^2$ +1 × $2^3$ = $2^1$ + $2^3$ ;
因此 $a^9$ = a^{(2^1 + 2^3)}= a^{2^1} * a^{2^3} , 也就是a¹ * a⁸。现在这样就快多了吧，原来9个a连乘要计算8次乘法，现在使用快速幂只要乘两次。
但是像a⁸这种式子好像不是很好求的样子。。。

long long pow(int a, int b)
{
    long long int ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) //判断b的二进制最后一位是不是1
        {
        	 ans *= a;
        }
        a *= a;  //累乘，以便对ans做出贡献
        b >>= 1; //b右移一位，去掉最后一位
    }
    return ans;
}

关于代码中累乘 a *= a
a *= a 即 a = a²,再下一步就是a² * a² = a⁴，再下一步就是a⁴ * a⁴ = a⁸… …
这样随着b右移，a也发生变化：a¹ -> a²->a⁴->a⁸… … a的指数恰好是2^x形式，再看a⁹ = a¹ * a⁸，类似于 a⁸这样的式子就完美求出来了，当b二进制当前的末位为1的时候，只要把a乘给ans就能更新ans了。

2.矩阵快速幂

两个矩阵相乘
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}& ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & ... & a_{3n} \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2n} \\ b_{31} & b_{32} & ... & b_{3n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12}& ... & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n} \\ c_{31} & c_{32} & ... & c_{3n} \end{pmatrix}$
举个例子
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a*a_1 +b*c_1 & a*b_1+b*d_1 \\ c*a_1+d*c_1 & c*b_1+d*d_1 \end{pmatrix}$

注意：
1.矩阵A*B必须满足 A的列数=B的行数

2.若矩阵A是一个m行s列的矩阵，矩阵B是一个s行n列的矩阵，则C=A*B是一个m行n列的矩阵

矩阵快速幂
设A为矩阵，求Aⁿ,若直接相乘，需要连乘n-1次，时间复杂度为O(n),
使用矩阵快速幂，时间复杂度为O( $log_2n)$ 。

那么如何实现矩阵快速幂呢？只要快速幂中的乘法改成矩阵的乘法就行了。

const int N = 2;
int ans[N][N];
int temp[N][N];
int num[N][N];
void multi(int a[][N], int b[][N]) //两个矩阵相乘
{
    memset(temp, 0, sizeof(temp));
    for(int i = 0; i < N; i++)
        for(int j = 0; j < N; j++)
        for(int k = 0; k < N; k++)
        temp[i][j] = temp[i][j] + a[i][k] * b[k][j];

    for(int i = 0; i < N; i++)
        for(int j = 0; j < N; j++)
        a[i][j] = temp[i][j];
}
void MatPow(int a[][N], int n)  //计算矩阵a的n次方
{
    memset(res, 0, sizeof(res));
    for(int i = 0; i < N; i++) ans[i][i] = 1; //初始化为单位矩阵，相当于快速幂中的ans = 1

    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            multi(ans, a); //矩阵ans与矩阵a相乘
        }
        multi(a, a);//矩阵a自乘
        n >>= 1;
    }
}

矩阵快速幂主要是用来求一个复杂递推式的某一项问题，只要构造出了关系矩阵，问题就好解决了。

如何构造矩阵

首先说明一下，能用矩阵快速幂优化的递推类型是f[n]=2f[n-1]+3f[n-2]+n³+1这类的，也就是递推要是线性的，且f[n-i]的系数要是常数，可以含有n的多项式。

下面介绍一些递推式：
递推式1.斐波那契数列： $F_n=F_{n-1}+F_{n-2},F_0=1, F_1=2,求F_n$
设转换矩阵为A，那么
$\begin{pmatrix} F_{n-2} \\ F_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n-1} \\ F_{n} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} F_{n-1} \\ F_{n-1} +F_{n-2} \end{pmatrix}$

之前说过，若矩阵a是一个m行s列的矩阵，矩阵b是一个s行n列的矩阵，则c=a*b是一个m行n列的矩阵

易知，A是一个2×2的矩阵。
设
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
那么
$a * F_{n-2}+b*F_{n-1} = F_{n-1}$ ,
$c * F_{n-2}+d*F_{n-1} = F_{n-1}+F_{n-2}$
得a=0,b=1,c=1,d=1
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
这样就求出了转换矩阵A

$\begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_2 \\ F_3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} F_2 \\ F_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_3 \\ F_4 \end{pmatrix}$
$A^{n-1}* \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n+1} \end{pmatrix}$

最后得到的矩阵的第一个元素即为 $F_n$
一些类似的数列：

(1) $F_n = F_{n-1}+F_{n-2} + 1,F_1=1, F_2=2,求F_n$

$\begin{pmatrix} F_{n-2} \\ F_{n-1} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n-1} \\ F_n\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} F_{n-1} \\ F_{n-2}+F_{n-1} + 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
解得 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
求 $F_n$ :
$A^{n-1}* \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n+1} \\ 1 \end{pmatrix}$
最后得到的矩阵的第一个元素即为 $F_n$

(2) $F_n = F_{n-1}+F_{n-2} + n + 1,F_0=1, F_1=2,求F_n$

$\begin{pmatrix} F_{n-2} \\ F_{n-1} \\ n \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \\ n+1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_{n-2}+F_{n-1}+n+1 \\ n+1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 解得 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
求 $F_n$ : $A^{n-1}* \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2\\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n+1} \\ n+1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) $F_n=F_{n-2}+F_{n-1},F_1=F_2=1,求F_n的前n项和S_n$

同理求A：
$\begin{pmatrix} F_{n-2} \\ F_{n-1} \\ S_{n-2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n-1} \\ F_n\\ S_{n-1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} F_{n-1} \\ F_{n-2}+F_{n-1} \\ S_{n-2}+F_{n-1} \end{pmatrix}$
解得 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

观察上面数各列求出的转换矩阵A，你会发现它们有一些相似性，
一般的，如果有 $F_n=p*F_{n-2} + q * F_{n-1} + r * n + s$ ,可构造矩阵A为：
$\begin{pmatrix} 0 & p & 0 & 0 & 0\\ 1 & q & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & r & 0 & 1 & 0\\ 0 & s & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
递推式2： $Fn=k*F_{n-1}+n^2$
按照之前的方法写：
$\begin{pmatrix} F_{n-1} \\ n^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_n \\ (n+1)^2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} k*F_{n-1}+n^2 \\ (n+1)^2 \end{pmatrix}$ 易知A是2×2的矩阵，不访设 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
得到：
$a*F_{n-1} + b * n^2 = k* F_{n-1} + n^2$ （式子1）
$c*F_{n-1}+d*n^2=(n+1)^2=n^2+2n+1$ （式子2）
解到这里你会发现式子2中有一个关于n的一次项2n和一个常数项，此时求出的abcd的值是不对的，因为将abcd带入原式后计算，是得不到 $n+1)^2$ 这个式子的，所以不能这样构造。那应该怎么构造呢，在式子2中有一个一次项和一个常数项，那就再构造时把一次项和常数项加入。
$\begin{pmatrix} F_{n-1} \\ n^2 \\ n \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k* F_{n-1}+n^2 \\ (n+1)^2 \\ n+1 \\ 1 \end{pmatrix}$
得
$\begin{pmatrix} k & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
递推式3： $F_n=k*F_{n-1}+n^3$
同理可求得：
$\begin{pmatrix} k & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
递推式4： $F_n=k*F_{n-1}+b^n$
$\begin{pmatrix} F_{n-1} \\ b^n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} F_n \\ b^{n+1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} k*F_{n-1}+b^n \\ b^n * b \end{pmatrix}$
解得：
$\begin{pmatrix} k & 1 \\ 0 & b \end{pmatrix}$