<think>好的，我需要帮助用户将复杂的数学表达式用乘法分配律展开，并用Qt/C++编写代码实现。首先，我得仔细分析这个表达式。
用户给出的表达式是：
$$(1-(1 - D*G*F*I - A*B + A*B*D*G*F*I)*M)*((1 - A*C - E*H*F*J + E*H*F*J*A*C)*N)$$
看起来这是一个嵌套的多项式，需要展开乘法项。乘法分配律展开通常涉及将每个括号内的项相乘，并合并同类项。不过手动展开的话，步骤会很繁琐，尤其是变量很多的情况下，容易出错。所以用户需要程序来自动处理这个过程。
接下来，我需要考虑如何在C++或Qt中实现这一点。可能的思路是将表达式表示为树结构，每个节点是一个操作符或变量，然后递归展开。但这种方法可能比较复杂，尤其是处理多个变量和运算符的情况。
另一个思路是使用符号计算库，比如SymEngine或Qt自己有没有相关类。但用户可能希望不依赖第三方库，自己实现。所以需要手动处理表达式结构。
或者，可以将表达式分解成多个子表达式，逐步展开。例如，先处理内层括号，再逐层外扩。比如，原表达式可以分解为两个主要部分：左边的(1 - ... * M)和右边的(... * N)。先分别展开这两个部分，然后再相乘。
但如何表示展开后的多项式呢？可能需要将表达式表示为各项的和，其中每一项是变量的乘积。例如，每个项可以用一个结构体或类，包含变量的组合及其系数。然后，展开两个多项式相乘时，将每一项分别相乘，并合并同类项。
不过，变量是字符串形式，如何识别和组合它们？可能需要将每个变量用唯一的标识符表示，比如字符串，并将每个项表示为系数的乘积累加。例如，项A*B可以表示为系数为1，变量列表为{"A", "B"}；而- A*B则为系数-1，变量列表同上。
这似乎可行。所以步骤可能是：
1. 解析原始表达式，拆解成各个括号内的子表达式。
2. 对每个子表达式进行展开，转换为多项式的形式（各项的系数和变量乘积）。
3. 当两个多项式相乘时，进行分配律展开，生成所有可能的项组合，并合并同类项。
但解析表达式本身可能比较复杂，特别是处理括号嵌套和运算符优先级。例如，用户给出的表达式中有多个括号层级，需要正确解析运算顺序。
如果用户希望直接处理这个特定的表达式，而不是通用的表达式解析器，那么可以手动将其分解为多个步骤，并分步展开。比如，先将整个表达式分解为几个部分，然后逐步展开，每一步都生成中间结果，最后组合起来。
不过用户可能需要一个通用的函数，能够处理类似结构的表达式。因此，可能需要设计一个数据结构来表示多项式，然后实现多项式相乘的方法。
例如，定义一个Term类，包含系数和变量的乘积（比如，用std::map<std::string, int>来记录每个变量的幂次），然后多项式就是多个Term的集合。当两个多项式相乘时，每个Term相乘，系数相乘，变量合并（幂次相加）。然后，合并同类项（即变量组合相同的项）。
这个思路需要实现Term的乘法，以及多项式的乘法，并且处理同类项的合并。例如，A*B和B*A会被视为同一项，需要合并。因此，变量在Term中的存储可能需要按字母顺序排列，以便比较是否相同。例如，将变量按名称排序存储，这样A*B和B*A会被视为同一项，系数相加。
这应该可以实现。然后，将原始表达式转换为这样的多项式结构，进行乘法展开，最后生成结果表达式字符串。
接下来，如何将输入的表达式转换为这样的多项式结构？如果用户输入的是固定的表达式，可能可以手动拆解，但如果是任意表达式，就需要表达式解析器。这可能比较复杂。但用户提供的表达式是特定的，或许可以硬编码拆解步骤，或者用户希望处理类似的表达式结构。
假设用户希望处理的是类似结构的多项式，那么可能需要一个表达式解析器，将字符串转换为多项式结构。但编写这样的解析器需要处理运算符优先级、括号、变量识别等，这可能会比较麻烦。作为替代方案，或许可以手动将表达式分解为多个部分，分别用代码生成对应的多项式，然后进行相乘。
例如，用户给出的表达式可以拆解为两个主要部分：左边的部分和右边的部分：
左边部分：1 - (1 - D*G*F*I - A*B + A*B*D*G*F*I)*M
右边部分：(1 - A*C - E*H*F*J + E*H*F*J*A*C)*N
然后，左边部分可以进一步拆解为：1 - [ (1 - D*G*F*I - A*B + A*B*D*G*F*I) * M ]
而右边的部分已经是单独的括号乘以N。
所以，整个表达式是左边乘以右边。因此，展开的步骤是：
1. 展开左边的括号内的表达式：(1 - D*G*F*I - A*B + A*B*D*G*F*I) * M，然后整个左边是1减去这个结果。
2. 展开右边的表达式：(1 - A*C - E*H*F*J + E*H*F*J*A*C) * N。
3. 最后将左边和右边的展开结果相乘。
因此，代码需要分别处理左边和右边的展开，然后将结果相乘。
因此，可能需要为每个子表达式创建对应的多项式结构，然后进行运算。
例如，左边部分中的 (1 - D*G*F*I - A*B + A*B*D*G*F*I) 可以表示为四个项：
项1：1（系数为1，无变量）
项2：-D*G*F*I（系数-1，变量D,G,F,I）
项3：-A*B（系数-1，变量A,B）
项4：+A*B*D*G*F*I（系数+1，变量A,B,D,G,F,I）
然后乘以M，即每个项都乘以M。例如，项1乘以M变为M（系数1，变量M），项2乘以M变为 -D*G*F*I*M，依此类推。然后整个括号内的结果就是这四个项乘以M后的结果。然后用1减去这个结果，即添加项1（系数1，无变量），然后减去其他所有项。
同理，右边部分中的括号内的表达式也需要类似处理。
然后，将左边和右边展开后的多项式相乘，得到最终的展开式。
这样的过程可以通过代码中的多项式类来实现。例如，每个多项式是一个项的列表，每个项包含系数和变量集合。然后，乘法操作就是遍历两个多项式的所有项，相乘生成新的项，合并同类项。
现在，如何实现这样的数据结构？
在C++中，可以定义一个Term结构体：
struct Term {
double coefficient;
std::map<std::string, int> variables; // 变量名到幂次的映射，这里假设都是乘法，即幂次为1
Term multiply(const Term& other) const {
Term result;
result.coefficient = coefficient * other.coefficient;
for (const auto& var : variables) {
result.variables[var.first] += var.second;
}
for (const auto& var : other.variables) {
result.variables[var.first] += var.second;
}
return result;
}
bool operator==(const Term& other) const {
return variables == other.variables;
}
};
然后，多项式就是std::vector<Term>。但是，这样的结构可能无法有效合并同类项，因为每次相乘之后需要检查变量部分是否相同。此外，变量的顺序可能影响比较，例如A*B和B*A会被视为不同的项，除非在存储变量时按字母顺序排序。
因此，在Term的构造函数或乘法方法中，可能需要将变量按名称排序存储，例如使用std::map，这样变量名自动排序，从而保证A*B和B*A存储为同样的结构。
但这里每个变量的幂次都是1，因为是乘法，所以变量在Term中的出现次数是1次。例如，A*B会被表示为变量A和B各一次，而如果出现A*A的情况，可能需要处理幂次。不过用户给出的表达式中的变量都是单次出现，所以暂时可以假设每个变量在每个项中只出现一次，幂次为1。不过，如果表达式中有平方项，比如A^2，则可能需要更复杂的处理，但用户的问题中没有这种情况，所以可能暂时不考虑幂次，只处理变量是否出现。
不过，为了更通用，Term结构体中的variables应该记录每个变量的幂次。但根据用户给出的表达式，所有变量都是线性的，所以幂次都是1，可以简化处理。
不过，在乘法时，比如Term1有变量A，Term2也有变量A，那么相乘后的项的变量A的幂次是Term1中的次数加上Term2中的次数。例如，如果Term1是A，次数1，Term2是A，次数1，那么相乘后的项是A^2。但用户给出的表达式中没有这样的情况，所以可能暂时不需要处理幂次。或者，在乘法时，如果变量已经存在，则次数相加。这可能更准确。
不过，在用户提供的表达式中，变量之间都是相乘，没有幂次。因此，在乘法分配展开后，每个变量的次数在每个项中只会出现0或1次。所以，可以假设每个变量在项中的次数只能是0或1，这样可以用一个集合或排序后的列表来存储变量，便于比较。
因此，修改Term结构体：
struct Term {
double coefficient;
std::set<std::string> variables; // 使用有序集合存储变量，保证顺序一致
Term multiply(const Term& other) const {
Term result;
result.coefficient = coefficient * other.coefficient;
result.variables.insert(variables.begin(), variables.end());
result.variables.insert(other.variables.begin(), other.variables.end());
return result;
}
bool operator<(const Term& other) const {
// 用于排序或比较，先比较变量集合的大小，再逐个比较变量名
if (variables == other.variables) {
return false;
}
return variables < other.variables;
}
};
但这样，std::set会按升序排列变量名，从而保证A*B和B*A被视为同一个变量组合。例如，变量A和B的集合在插入到set后，顺序是A、B，无论添加顺序如何，所以两个Term的variables集合会相等，如果变量相同的话。
这样，在合并同类项时，只需要比较variables集合是否相等即可。
然后，多项式类可以是一个std::map<Term, double>，其中键是Term（变量集合），值是系数。不过，使用std::map可能不太方便，因为每次添加项时需要检查是否已经存在相同的Term。或者，可以使用std::vector<Term>，并在每次添加项时检查是否已有相同variables的项，如果有，就将系数相加，否则添加新项。
或者，更高效的方式是使用std::unordered_map，但需要为Term定义哈希函数。这可能比较复杂，所以暂时用std::vector，并在每次操作后合并同类项。
例如，定义一个Polynomial类：
class Polynomial {
public:
std::vector<Term> terms;
void addTerm(const Term& term) {
for (auto& t : terms) {
if (t.variables == term.variables) {
t.coefficient += term.coefficient;
return;
}
}
terms.push_back(term);
}
Polynomial multiply(const Polynomial& other) const {
Polynomial result;
for (const auto& t1 : terms) {
for (const auto& t2 : other.terms) {
Term product = t1.multiply(t2);
result.addTerm(product);
}
}
return result;
}
Polynomial operator+(const Polynomial& other) const {
Polynomial result = *this;
for (const auto& term : other.terms) {
result.addTerm(term);
}
return result;
}
Polynomial operator-(const Polynomial& other) const {
Polynomial result = *this;
for (const auto& term : other.terms) {
Term negTerm = term;
negTerm.coefficient *= -1;
result.addTerm(negTerm);
}
return result;
}
// 其他运算符重载，如乘以标量等
};
这样，就可以将各个子表达式转换为Polynomial对象，然后进行加减乘运算，最终得到展开后的多项式。
接下来，需要将用户提供的表达式转换为这些Polynomial对象。例如，左边的部分：
左边原始表达式：1 - (expr) * M
其中expr是(1 - D*G*F*I - A*B + A*B*D*G*F*I)
首先，将expr转换为Polynomial：
expr的terms为：
Term(1, {}) // 1
Term(-1, {D, G, F, I}) // -D*G*F*I
Term(-1, {A, B}) // -A*B
Term(1, {A, B, D, G, F, I}) // +A*B*D*G*F*I
然后将这个Polynomial乘以M，即每个Term的variables中添加M：
乘以M后的Polynomial是：
Term(1*M的系数, variables原有变量加上M)？或者，M本身是一个变量，所以乘以M相当于每个Term的variables插入M？
例如，原来的Term是1（系数1，无变量），乘以M后变成系数1，变量{M}。
Term(-1, {D,G,F,I})乘以M后变成系数-1，变量{D,G,F,I,M}，依此类推。
所以，expr乘以M的Polynomial应该是将每个Term的variables添加M，系数不变。
因此，在代码中，当Polynomial乘以一个变量（比如M）时，需要创建一个新的Term，其中variables包括原Term的variables加上M，系数不变。
但上述的Polynomial类没有处理这种情况的方法，可能需要添加一个方法，将整个Polynomial乘以一个变量（字符串）。
或者，可以将M视为一个单独的Term，然后与原Polynomial相乘。例如，M对应的Term是系数1，变量{M}，所以将原Polynomial乘以这个Term，即每个Term乘以M对应的Term。
所以，在代码中，可以这样处理：
Polynomial multiplyByVariable(const std::string& var) {
Polynomial result;
Term varTerm;
varTerm.coefficient = 1.0;
varTerm.variables.insert(var);
for (const auto& term : terms) {
Term product = term.multiply(varTerm);
result.addTerm(product);
}
return result;
}
这样，expr乘以M，就是将expr的Polynomial对象调用multiplyByVariable("M")，得到新的Polynomial。
然后，整个左边部分是1 - (expr * M)，即：
Polynomial leftPart = Polynomial::constant(1) - (expr * M);
其中，Polynomial::constant(1)是一个静态方法，生成系数为1，无变量的Term组成的Polynomial。
同理，处理右边的部分：
右边原始表达式：(1 - A*C - E*H*F*J + E*H*F*J*A*C) * N
同样，将括号内的部分转换为Polynomial，然后乘以N。
之后，整个表达式是leftPart * rightPart。
所以，现在的问题是如何将用户给定的表达式转换为这些Polynomial对象，并进行运算。
这可能需要手动构造这些Polynomial对象，因为自动解析表达式字符串比较复杂。如果用户希望针对这个特定的表达式编写代码，可以手动构建每个部分的Polynomial。
例如，构造expr的Polynomial：
Polynomial expr;
expr.addTerm(Term(1.0, {})); // 1
expr.addTerm(Term(-1.0, {"D", "G", "F", "I"})); // -D*G*F*I
expr.addTerm(Term(-1.0, {"A", "B"})); // -A*B
expr.addTerm(Term(1.0, {"A", "B", "D", "G", "F", "I"})); // +A*B*D*G*F*I
然后乘以M：
Polynomial exprM = expr.multiplyByVariable("M");
然后，左边部分是1 - exprM：
Polynomial leftPart = Polynomial::createConstant(1.0) - exprM;
同样，右边的括号内部分构造：
Polynomial rightInner;
rightInner.addTerm(Term(1.0, {})); // 1
rightInner.addTerm(Term(-1.0, {"A", "C"})); // -A*C
rightInner.addTerm(Term(-1.0, {"E", "H", "F", "J"})); // -E*H*F*J
rightInner.addTerm(Term(1.0, {"E", "H", "F", "J", "A", "C"})); // +E*H*F*J*A*C
然后乘以N：
Polynomial rightPart = rightInner.multiplyByVariable("N");
最后，整个表达式是leftPart * rightPart：
Polynomial result = leftPart.multiply(rightPart);
然后，将result中的terms输出为表达式字符串。
这样，代码的大致结构就形成了。但需要实现Polynomial类及其运算方法，以及Term结构体的乘法。
现在，关于合并同类项，例如，在乘法之后，可能会有多个Term具有相同的variables集合，需要将它们的系数相加。这在addTerm方法中已经处理，遍历现有terms，查找是否有相同的variables，如果有，就合并系数。
但是，当变量数量较多时，这样的线性查找可能效率低下。但对于这个特定的问题，表达式变量数量可能有限，所以可以接受。
接下来，如何将这些Polynomial转换为字符串表达式？例如，每个Term的系数和变量乘积，组合成类似的数学表达式。
例如，Term的系数为2，变量{"A", "B"}，则表示为2*A*B。系数为-1，变量{"D","G"}，则表示为-D*G。
因此，实现一个将Polynomial转换为字符串的函数：
std::string Polynomial::toString() const {
std::stringstream ss;
for (size_t i = 0; i < terms.size(); ++i) {
const Term& term = terms[i];
if (i == 0) {
// 第一个项，不需要符号
if (term.coefficient < 0) {
ss << "-";
}
} else {
if (term.coefficient >= 0) {
ss << " + ";
} else {
ss << " - ";
}
}
// 输出系数的绝对值，除非系数为1或-1且存在变量
double absCoeff = std::abs(term.coefficient);
if (absCoeff != 1.0 || term.variables.empty()) {
ss << absCoeff;
if (!term.variables.empty()) {
ss << "*";
}
}
// 输出变量，用*连接
bool firstVar = true;
for (const auto& var : term.variables) {
if (!firstVar) {
ss << "*";
}
ss << var;
firstVar = false;
}
}
return ss.str();
}
但需要注意，当系数为1或-1且有变量时，不需要显示1，例如，1*A*B应显示为A*B，-1*A*B显示为 -A*B。
这样，toString方法可以生成正确的表达式字符串。
现在，将这些步骤整合到Qt项目中。用户希望编写Qt代码，因此可能需要将这些类封装到Qt的项目中，例如使用QString代替std::string，以及Qt的数据结构。或者，保持C++标准库的使用，并在需要时转换为QString。
考虑到Qt兼容性，可以将代码保持为标准C++，并在需要的地方进行转换。例如，变量名使用std::string，然后在输出到UI时转换为QString。
综上，步骤总结：
1. 定义Term结构体，包含系数和有序变量集合。
2. 定义Polynomial类，管理Term的集合，并提供加减乘运算。
3. 手动构造原始表达式各部分的Polynomial对象。
4. 进行乘法分配展开，得到结果Polynomial。
5. 将结果转换为字符串表达式。
现在，编写示例代码：
首先，Term结构体和Polynomial类的实现：
#include <vector>
#include <set>
#include <string>
#include <sstream>
#include <map>
struct Term {
double coefficient;
std::set<std::string> variables;
Term multiply(const Term& other) const {
Term result;
result.coefficient = coefficient * other.coefficient;
// 合并变量，利用set的有序性，自动排序
result.variables.insert(variables.begin(), variables.end());
result.variables.insert(other.variables.begin(), other.variables.end());
return result;
}
bool operator==(const Term& other) const {
return variables == other.variables;
}
};
class Polynomial {
public:
std::vector<Term> terms;
void addTerm(const Term& term) {
for (auto& t : terms) {
if (t.variables == term.variables) {
t.coefficient += term.coefficient;
// 如果系数为0，删除该项
if (t.coefficient == 0) {
terms.erase(terms.begin() + (&t - &terms[0]));
}
return;
}
}
// 没有找到相同变量，添加新项
terms.push_back(term);
}
static Polynomial createConstant(double value) {
Polynomial p;
if (value != 0) {
Term t;
t.coefficient = value;
p.addTerm(t);
}
return p;
}
Polynomial multiply(const Polynomial& other) const {
Polynomial result;
for (const auto& t1 : terms) {
for (const auto& t2 : other.terms) {
Term product = t1.multiply(t2);
result.addTerm(product);
}
}
return result;
}
Polynomial multiplyByVariable(const std::string& var) const {
Polynomial result;
Term varTerm;
varTerm.coefficient = 1.0;
varTerm.variables.insert(var);
for (const auto& term : terms) {
Term product = term.multiply(varTerm);
result.addTerm(product);
}
return result;
}
Polynomial operator+(const Polynomial& other) const {
Polynomial result = *this;
for (const auto& term : other.terms) {
result.addTerm(term);
}
return result;
}
Polynomial operator-(const Polynomial& other) const {
Polynomial result = *this;
for (const auto& term : other.terms) {
Term negTerm = term;
negTerm.coefficient *= -1;
result.addTerm(negTerm);
}
return result;
}
std::string toString() const {
if (terms.empty()) {
return "0";
}
std::stringstream ss;
for (size_t i = 0; i < terms.size(); ++i) {
const Term& term = terms[i];
double coeff = term.coefficient;
bool isNegative = coeff < 0;
if (i == 0) {
if (isNegative) {
ss << "-";
}
} else {
ss << (isNegative ? " - " : " + ");
}
double absCoeff = std::abs(coeff);
if (absCoeff != 1.0 || term.variables.empty()) {
ss << absCoeff;
if (!term.variables.empty()) {
ss << "*";
}
}
bool firstVar = true;
for (const auto& var : term.variables) {
if (!firstVar) {
ss << "*";
}
ss << var;
firstVar = false;
}
}
return ss.str();
}
};
接下来，构造原始表达式的各个部分：
Polynomial createLeftPart() {
// 创建表达式 (1 - D*G*F*I - A*B + A*B*D*G*F*I)
Polynomial expr;
expr.addTerm(Term{1.0, {}});
expr.addTerm(Term{-1.0, {"D", "G", "F", "I"}});
expr.addTerm(Term{-1.0, {"A", "B"}});
expr.addTerm(Term{1.0, {"A", "B", "D", "G", "F", "I"}});
// 乘以 M
Polynomial exprM = expr.multiplyByVariable("M");
// 1 - exprM
Polynomial leftPart = Polynomial::createConstant(1.0) - exprM;
return leftPart;
}
Polynomial createRightPart() {
// 创建表达式 (1 - A*C - E*H*F*J + E*H*F*J*A*C)
Polynomial rightInner;
rightInner.addTerm(Term{1.0, {}});
rightInner.addTerm(Term{-1.0, {"A", "C"}});
rightInner.addTerm(Term{-1.0, {"E", "H", "F", "J"}});
rightInner.addTerm(Term{1.0, {"E", "H", "F", "J", "A", "C"}});
// 乘以 N
Polynomial rightPart = rightInner.multiplyByVariable("N");
return rightPart;
}
最后，计算整个表达式：
std::string expandExpression() {
Polynomial leftPart = createLeftPart();
Polynomial rightPart = createRightPart();
Polynomial result = leftPart.multiply(rightPart);
return result.toString();
}
这会将整个表达式展开并返回字符串形式。
但需要注意，合并同类项是否正确。例如，在合并时，如果系数变为0，应该删除该Term。上面的addTerm方法中，当系数为0时，尝试删除该项，但使用erase的方式可能有错误，因为迭代器可能失效。例如：
在addTerm函数中：
for (auto& t : terms) {
if (t.variables == term.variables) {
t.coefficient += term.coefficient;
// 如果系数为0，删除该项
if (t.coefficient == 0) {
terms.erase(terms.begin() + (&t - &terms[0]));
}
return;
}
}
但这里的循环是使用基于范围的for循环，修改容器（erase）会导致迭代器失效。所以需要改用索引循环：
修改addTerm方法：
void addTerm(const Term& term) {
for (size_t i = 0; i < terms.size(); ++i) {
if (terms[i].variables == term.variables) {
terms[i].coefficient += term.coefficient;
if (terms[i].coefficient == 0) {
terms.erase(terms.begin() + i);
}
return;
}
}
terms.push_back(term);
}
这样，当找到相同variables的项时，检查系数是否为0，如果是，则删除该项。
这样就能正确处理系数相加为0的情况，避免显示0*A*B之类的项。
综上，将这些代码封装到一个Qt函数中，例如：
QString expandMathExpression() {
// 创建左边部分
Polynomial leftPart = createLeftPart();
// 创建右边部分
Polynomial rightPart = createRightPart();
// 相乘得到结果
Polynomial result = leftPart.multiply(rightPart);
// 转换为字符串
return QString::fromStdString(result.toString());
}
这样，用户可以在Qt项目中使用这个函数，获取展开后的表达式。
不过，用户可能需要将变量作为参数传入，而不是硬编码在createLeftPart和createRightPart中。但根据用户的问题，表达式是固定的，所以可能不需要通用解析，而是直接处理这个特定表达式。
总结，这样的实现能够将原始表达式展开，并输出结果。不过，由于展开后的项数可能非常多，尤其是在原表达式复杂的情况下，结果字符串会非常长。例如，左边部分展开后有4项乘以M，然后1减去这个结果，所以左边可能有5项，右边可能有4项乘以N，相乘后总共有5*4=20项，然后再相乘得到更大的项数。但根据原表达式的结构，实际相乘后的项数可能更多。
测试这个代码，可能需要验证是否正确展开。例如，手动展开部分项，检查代码输出是否符合预期。
例如，左边部分：
原始左边表达式：1 - (1 - D*G*F*I - A*B + A*B*D*G*F*I)*M
展开后的左边部分：
1 - M*(1) + M*(D*G*F*I) + M*(A*B) - M*(A*B*D*G*F*I)
即：
1 - M + M*D*G*F*I + M*A*B - M*A*B*D*G*F*I
同理，右边部分展开后：
N*(1) - N*A*C - N*E*H*F*J + N*E*H*F*J*A*C
然后，左边和右边相乘，将产生大量交叉项，每项都是左边的一个项乘以右边的一个项。
代码应该正确生成所有项，并合并同类项。例如，1*N将生成N，然后减去M*N，加上M*D*G*F*I*N，等等。
因此，这样的实现应该能够满足用户的需求，将表达式展开并封装到函数中。</think>要将给定的数学表达式按乘法分配律展开并用Qt/C++实现，可以通过构建多项式类来管理各项的系数和变量组合，并进行多项式运算。以下是分步实现方案：
### 步骤一：定义数据结构
```cpp
#include <vector>
#include <set>
#include <string>
#include <sstream>
struct Term {
double coefficient;
std::set<std::string> variables; // 有序存储变量
Term multiply(const Term& other) const {
Term result;
result.coefficient = coefficient * other.coefficient;
result.variables.insert(variables.begin(), variables.end());
result.variables.insert(other.variables.begin(), other.variables.end());
return result;
}
};
class Polynomial {
public:
std::vector<Term> terms;
void addTerm(const Term& term) {
for (size_t i = 0; i < terms.size(); ++i) {
if (terms[i].variables == term.variables) {
terms[i].coefficient += term.coefficient;
if (terms[i].coefficient == 0) {
terms.erase(terms.begin() + i);
}
return;
}
}
terms.push_back(term);
}
Polynomial multiply(const Polynomial& other) const {
Polynomial result;
for (const auto& t1 : terms) {
for (const auto& t2 : other.terms) {
result.addTerm(t1.multiply(t2));
}
}
return result;
}
Polynomial operator-(const Polynomial& other) const {
Polynomial result = *this;
for (const auto& term : other.terms) {
Term negated = term;
negated.coefficient *= -1;
result.addTerm(negated);
}
return result;
}
std::string toString() const {
if (terms.empty()) return "0";
std::stringstream ss;
// ...（与上文相同，生成表达式字符串）
return ss.str();
}
};
```
### 步骤二：构造子表达式
```cpp
Polynomial createLeftExpression() {
Polynomial expr;
expr.addTerm({1, {}});
expr.addTerm({-1, {"D","G","F","I"}});
expr.addTerm({-1, {"A","B"}});
expr.addTerm({1, {"A","B","D","G","F","I"}});
Polynomial m_expr = expr.multiplyByVariable("M");
return Polynomial::createConstant(1) - m_expr;
}
Polynomial createRightExpression() {
Polynomial expr;
expr.addTerm({1, {}});
expr.addTerm({-1, {"A","C"}});
expr.addTerm({-1, {"E","H","F","J"}});
expr.addTerm({1, {"E","H","F","J","A","C"}});
return expr.multiplyByVariable("N");
}
```
### 步骤三：计算展开结果
```cpp
QString expandExpression() {
Polynomial left = createLeftExpression();
Polynomial right = createRightExpression();
Polynomial result = left.multiply(right);
return QString::fromStdString(result.toString());
}
```
### 功能说明
1. **数据结构**：`Term`表示单项式，包含系数和有序变量集合；`Polynomial`管理多项式运算。
2. **运算逻辑**：通过运算符重载实现多项式加减乘，自动合并同类项。
3. **特殊处理**：系数为0的项自动清除，变量按字母顺序排列避免重复。
### 示例输出
展开结果将包含所有交叉乘积项，例如：
$$1*N - M*N + M*D*G*F*I*N + ... - M*A*B*D*G*F*I*N*E*H*F*J*A*C$$
### 注意事项
- 变量名需符合C++标识符规则
- 表达式复杂度较高时，展开结果可能包含数百项
- 可优化项比较算法提升性能
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