二维费用背包问题+空间优化（滚动数组）

最新推荐文章于 2025-11-25 20:24:40 发布

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本文探讨了如何使用动态规划解决背包问题，并通过空间优化减少内存消耗。以特定字符串组成为例，详细介绍了状态转移方程及其实现过程。

题目描述：

在计算机世界，我们一直追求用最小的资源产生最大的价值。

现在，假设你可以支配m个0和n个1。同时有一些只有0和1组成的字符串。

你的任务是用这些0和1去组成这些字符串，输出最多能组成多少个字符串。每个0和1只能被使用一次。

样例输入

样例一

输入: Array = {"10", "0001", "111001", "1", "0"}, m = 5, n = 3

输出: 4

解释: 用5个0和3个1可以至多组成4个给定字符串，分别为“10”、”0001”、”1”、”0”。

该题意可以转换为==》你有容量为m个0，n个1的背包，然后给你如何把字符串数组中的字符串放到该背包中，使得放的字符串数目尽可能地多？

然后就可以得出去状态转移方程：

dp[i][j][k]代表有j个0和k个1的背包，然后把前i个串放进去该背包中，所放的字符串数目的最大值

dp[i][j][k] = max{ dp[i-1][j][k](不放)，dp[i-1][j-v[i]][k-u[i]](放) }

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
#define maxn 128
string s[] = { "10", "0001", "111001", "1", "0" };
int m = 5;//0的数目
int n = 3;//1的数目
int zeroNum[maxn], oneNum[maxn];
int dp[maxn][maxn][maxn];
int main()
{
	for (int i = 1; i <= 5; i++)
	{
		for (int j = 0; j < s[i].length(); j++)
		{
			if (s[i][j] == '1'){
				oneNum[i]++;
			}
			else{
				zeroNum[i]++;
			}
		}
	}

	for (int i = 1; i <= 5; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= m; j++)
		{
			for (int k = 0; k <= n; k++)
			{
				if (j >= zeroNum[i] && k >= oneNum[i]){
					dp[i][j][k] = max(dp[i - 1][j][k], dp[i-1][j - zeroNum[i]][k - oneNum[i]] + 1);
				}
				else{
					dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
				}
			}
		}
	}
	cout << dp[5][m][n] << endl;

	return 0;
}

空间优化（滚动数组）：

由于前i个串的情况都是由前i-1个串推导出来的，与前1~i-2的情况没有任何的关系，这也就是无后效性（个人理解，不对求纠正），然后我们可以把这一维去掉，即状态转移方程变成：

dp[i][j][k] = max{ dp[i-1][j][k](不放)，dp[i-1][j-v[i]][k-u[i]](放) } =》dp[j][k] = max{ dp[j][k](不放)，dp[j-v[i]][k-u[i]](放) }(j、k的遍历顺序要变成倒序)

变成倒序的理由：因为dp[i][j][k]是由dp[i-1][j - zeroNum[i]][k - oneNum[i]]推导出来的，而不是dp[i][j - zeroNum[i]][k - oneNum[i]]
所以dp[i][j - zeroNum[i]][k - oneNum[i]]必须后于dp[i][j][k]求值才能保证dp[i][j][k]是由dp[i-1][j - zeroNum[i]][k - oneNum[i]]推导而来的

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
#define maxn 128
string s[] = { "10", "0001", "111001", "1", "0" };
int m = 5;//0的数目
int n = 3;//1的数目
int zeroNum[maxn], oneNum[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int main()
{
	for (int i = 1; i <= 5; i++)
	{
		for (int j = 0; j < s[i].length(); j++)
		{
			if (s[i][j] == '1'){
				oneNum[i]++;
			}
			else{
				zeroNum[i]++;
			}
		}
	}

	for (int i = 1; i <= 5; i++)
	{
		for (int j = m; j >= zeroNum[i]; j--)
		{
			for (int k = n; k >= oneNum[i]; k--)
			{
				if (j >= zeroNum[i] && k >= oneNum[i]){
					dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - zeroNum[i]][k - oneNum[i]] + 1);
				}
			}
		}
	}
	cout << dp[m][n] << endl;

	return 0;
}