零知识证明|1.什么是同态隐藏？

所谓零知识证明，指的是在不泄露秘密的前提下，证明我知道这个秘密。

举个简单例子，假设我一个月工资2000，我老婆一个月工资3000。我不会把这两个数字透露给你，但是我可以告诉你，我俩每个月的工资加起来是5000。你可以通过某种方式验证我俩的工资加起来确实是5000，但是你没办法反推出来我每个月的工资是多少，我老婆每个月工资是多少。

要做到这一点，需要引入一个概念，叫做同态隐藏。这需要一些数论的知识，不过别担心，我也没有学过数论，所以我会尽可能用简单的语言来解释这个概念。

我们把上面那个问题用数学语言描述一下：已知两个数$x$和$y$，需要在不泄漏这两个数的前提下，证明$x+y=5$。

要实现这一点，我们需要引入一个同态隐藏函数$E(x)$，该函数满足下面3个条件：

• 知道$E(x)$的值，没法反推出$x$的值。这个很容易理解，如果能反推的话，秘密就暴露了
• 如果$x̸=y$，那么$E(x)̸=E(y)$。也就是说，这是一个单射，或者叫一一映射
• 如果知道了$E(x)$和$E(y)$，就可以算出$E(x+y)$。举个例子：$E(x+y)=E(x)\cdot E(y)$

如果找到了这个同态隐藏函数，问题就简单了：我把$E(x)$跟$E(y)$的值告诉你，你用它们算出$E(x+y)$，然后判断一下是不是等于$E(5)$就行了。也就是说，把验证$x+y=5$转化成了验证$E(x+y)=E(5)$。

这个同态隐藏函数，用普通的加减乘除运算是没法实现的，我们需要引入2个新的运算。

1.模p加法

p可以是任意整数，不过为了获得一些特殊性质，p一般取一个素数，比如7。

所谓模p加法，就是加完之后对p取模（除以p取余数）。比如下面的例子：

$x$	0	1	2	3	4	5	6
$($