2023 hdu 第6场 1002 Pair Sum and Perfect Square

原创已于 2023-08-24 17:01:00 修改 · 163 阅读

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#算法 #c++ #数据结构

于 2023-08-13 20:41:01 首次发布

文章描述了一种算法，用于解决给定长度为n的排列p的查询问题，查询是在指定区间内有多少对(i,j)满足p_i+p_j为平方数。通过枚举和离线分块处理，将时间复杂度优化到O(n√n)。

Problem Description

给出一个长度为 $n$ 的排列 $p$ ，进行 $Q$ 次查询。

每次查询给出一个区间 $L, R$ ( $\le L \le R \le n$ )，询问有多少对 ( $i, j$ ) ( $L≤i<j≤RL\le i < j \le R$ )满足 $p_{i} + p_{j}$ 是平方数。

Input

第一行包含一个整数 $T$ ( $\le 5$ )，表示测试组数。

对于每组测试，输入 $Q + 3$ 行。

第一行包含一个整数 n ( $\le n \le 10^5$ )，表示排列 $p$ 的长度。

第二行包含 $n$ 个整数 $p1,p2,…,pnp_{1},p_{2},\ldots,p_{n}$ ( $\le p_{i} \le n$ )，表示排列 $p$ 的各个元素。

第三行包含一个整数 $Q$ ( $\le Q \le 10^5$ )，表示询问次数。

接下来 $Q$ 行每行包含两个整数 $L$ 和 $R$ ( $\le L \le R \le n$ )，表示查询区间。

Output

对于每次查询输出对应答案。

Solution

首先只考虑如何算出 $[1, n]$ 的对数，

由于 $p_i$ 是一个排列，所以 $p_i+p_j$ 最大值为 $2 n - 1$ ，那么对于每个 $p_j$ 我们可以 $O(n)O(\sqrt{n})$ 枚举出 $\le i<j$ 使 $p_i+p_j$ 为平方数的个数。

		for (int j = 2; j * j < 2 * n; j++) {
			int x = j * j - a[i];
			if (x >= 1 && x <= n && p[x] < i)sum[id[p[x]]]++, c[p[x]]++;
		}

此时我们再加入多个区间查询，可以发现这就是一个二维数点的问题，那么我们就可以进行离线分块处理，将每次查询的 $L, R$ 按 $R$ 为关键词存下。

	for (int i = 0; i < m; i++) {
		int l, r;
		cin >> l >> r;
		q[r].emplace_back(l, i);
	}

在 $\in [1,n]$ 顺序做的同时当存在 $i == R$ 时利用分块暴力跑 $[L, R]$ ，最终时间复杂度在 $\sqrt{n})$ 。

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 2; j * j < 2 * n; j++) {
			int x = j * j - a[i];
			if (x >= 1 && x <= n && p[x] < i)sum[id[p[x]]]++, c[p[x]]++;
		}
		for (auto [l, j] : q[i]) {
			for (int k = l; k <= min(n, id[l]*len); k++)ans[j] += c[k];
			for (int k = id[l] + 1; k <= decn; k++)ans[j] += sum[k];
		}
	}

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
void solve() {
	int n;
	cin >> n;
	int decn = 0, len = sqrt(n);
	vector<int>a(n + 1), p(n + 1);
	vector<int>id(n + 1), c(n + 1), sum(n + 1);
	vector<pair<int, int>>q[n + 1];
	for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i], p[a[i]] = i;
	for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
		++decn;
		r = min(l + len - 1, n);
		for (int i = l; i <= r; i++)id[i] = decn;
	}
	int m;
	cin >> m;
	vector<int>ans(m);
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		int l, r;
		cin >> l >> r;
		q[r].emplace_back(l, i);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 2; j * j < 2 * n; j++) {
			int x = j * j - a[i];
			if (x >= 1 && x <= n && p[x] < i)sum[id[p[x]]]++, c[p[x]]++;
		}
		for (auto [l, j] : q[i]) {
			for (int k = l; k <= min(n, id[l]*len); k++)ans[j] += c[k];
			for (int k = id[l] + 1; k <= decn; k++)ans[j] += sum[k];
		}
	}
	for (auto x : ans)cout << x << endl;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	while (t--)solve();
}