【信号处理】采样定理的深入浅出

一些闲话：

这是我本科生涯的最后一年了，过去三年毫无征兆地蒸发了一样，我的大四上有一门移动通信课，在实验课后我突发的迫切想要搭建一个完整的通信系统，所以我想趁着大四上最后一个月好好将我的知识进行总结，算是留给自己的一个纪念品。这是通信系统的第一站。

目录

一些闲话：

一、前言

二、联系实际

三、分析

四、数学过程

1.当 ​ 时：

2.当​ 时：

而  ​  就被称为南奎斯特采样定律！

五、MATLAB 实现

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一、前言

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采样定理并不是复杂且难以理解的一个知识，但是它却是数字信号处理非常重要的一环，通过采样定理我们了解到，在理想状况下，满足什么条件的采样频率可以保证连续信号的离散处理能不失去原本的信息（也即能完好地将采样后的信号复原）。采样定理是美国电信工程师H.奈奎斯特在1928年提出的，要理解采样定理，只需要对连续时间傅里叶变换（CTFT：Continuous Time Fourier Transform）有足够的了解即可。想要加深对傅里叶变换的理解，可以看看这位Up主的视频。

纯干货数学推导_傅里叶级数与傅里叶变换_Part1_三角函数的正交性_哔哩哔哩_bilibili傅里叶级数，变换的数学基础。三角函数的正交性。******DR_CAN的论文预审/润色，留学文书，闪光点发掘以及科研咨询指导请参考：https://www.bilibili.com/read/cv3840089https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v?from=search&seid=10412896178040685619&spm_id_from=333.337.0.0本篇文章将从实际问题出发，引出采样，再分析怎么采样，最后通过数学推导得出采样定理。

二、联系实际

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我们生活的空间中存在着极其多的信号，如果你细想，会发现很多东西在悄无声息地进行着。比如声信号，我们想要录下我们的歌声，并对其“充电”，使它如同被电鳗咬了一样，然后再放给别人听。我们是如何接收这些声信号，并将其放在电脑里进行一定的处理的呢？带着这个问题我们将进入这一章的内容。

或许在初中的时候，我们都学到过，声是一种波，波动传入麦克风里的某种传感器（Sensor）从而产生了连续的电信号，而这种连续的电信号，或者说模拟信号（Analogue Signal），是我们今天第一个主角。我们把它写作  。比如它长这样：

我们又知道，电脑里面处理的可不是这种模拟信号，而是一长串由0和1组成的比特流。