C语言中补码的整数运算特性

前言

本篇博客以“SSD6-Exercise2-Data Lab: Manipulating Bits”为例，分析在对C语言中的整数采用补码（two’s-complement）编码的机器上，其整数运算的特性。

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补码

定义

最常见的有符号数的计算机表示方式就是补码（two’s-complement）形式。在这个定义中，将字的最高有效位解释为负权（negative weight），我们用函数B2T（Binary to Two’s-complement的缩写，长度为 w）来表示。

如：

B2T ([0001]) = -0 + 0 + 0 + 1 = 1
B2T ([0101]) = -0 + 4 + 0 + 1 = 5
B2T ([1011]) = -8 + 0 + 2 + 1 = -5
B2T ([1111]) = -8 + 4 + 2 + 1 = -1

定理1

B2T ([11···1]) = -1

证明：假设B2T ([11···1]) 共有w位，则其值为 -2^(w-1) + 2^(w-2) + ··· + 2^0. 根据等比数列求和公式，易证该值为-1.

定理2

对于w位的补码B2T来说，其边界值Tmax与Tmin分别为：

Tmax = B2T ([01···1]) = 2^(w-1) - 1

Tmin = B2T ([10···0]) = -2^(w-1)

即有：~Tmax = Tmin

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整数运算

我们先以表格的形式，宏观介绍C语言中的位级运算、逻辑运算和移位运算。

运算种类	运算符	主要说明
位级运算	|, &, ~, ^	对应于布尔运算中的OR, AND, NOT, EXCLUSIVE-OR
逻辑运算	||, &&, !	对应于命题逻辑中的OR, AND, NOT
移位运算	<<, >>	分为左移与右移，右移运算包括逻辑右移与算数右移

!与~有什么区别？

注意：逻辑运算很容易和位级运算相混淆，但是它们的功能是完全不同的。

• 逻辑运算中认为所有非零的参数都表示TRUE，而参数0表示FALSE.

• 逻辑运算的结果为一个布尔值，而位级运算的结果依然为一个数.

• 逻辑运算的运算符常称为与、或、非，而位级运算的运算符常称为与、或、取反、异或.

因此，!是逻辑运算中的非运算符，而~是位级运算中的取反运算符。

逻辑右移与算术右移

我们先来看左移运算<<.

对操作数x执行x<<k运算，即x向左移动k位。此运算会丢弃最高的k位，并在右端补k个0.

相应而言的右移运算>>.

对操作数x执行x>>k运算，即x向右移动k位。此运算会丢弃最低的k位，那么在左端需要补充的k个位是什么呢？

若执行逻辑右移，则补充k个0，这类似于左移运算.

若执行算术右移，则补充k个最高有效位的值。

且几乎所有的编译器／机器组合都对有符号数使用算术右移，对无符号数采用逻辑右移。

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运算特性

我们通过完成这下面这10个函数，来体会补码的整数运算特性。

/* 
 * bitAnd - x&y using only ~ and | 
 *   Example: bitAnd(6, 5) = 4
 *   Legal ops: ~ |
 *   Max ops: 8
 *   Rating: 1
 */
int bitAnd(int x, int y) {
    return ;
}

/* 
 * bitOr - x|y using only ~ and & 
 *   Example: bitOr(6, 5) = 7
 *   Legal ops: ~ &
 *   Max ops: 8
 *   Rating: 1
 */
int bitOr(int x,