树状数组基础原理与模板

树状数组

2021年7月29

1、算法原理

树状数组解决什么问题？

解决区间上点更新与维护的问题。如更改某些点值求区间和，或求某位前有多少比其小的问题。

其实现的原理是什么？

首先看图：

在这个图中，将每1<<i个数（0<=i<=n）分为一组 ,此时设置函数lowbit(i)，此函数将i的2进制中最后一位1前的数字全部删去，如lowbit(6)=4。

由图可看出，对于每个i，其都存在在其本身与i+lowbit(i)的区间数组内。例如：5—>101，101+1=110，此时存在于下标为6的区间内，随后，110+10=1000，1000+1000=10000，因此，5同时存在于下标为8与下标为16的区间内。

由此，可对数组进行更新操作：

for( ;i <= n; i+=lowbit(i)){
    tre[i]+=1;//此处不一定为1，根据题目不同更改，先对应下面样例
}

对于最大值为n的树状数组，每次将i加入相应区间。

那么，怎么进行查询操作？

对于一个数i可知，小于等于其本身的数字一定都存在于比其下标更小的数组里。因此此处依然可以按照二进制位进行查询，为了避免重复查询，依次进行i-lowbir(i)的操作进行查询，如：11—>1011,1011-1=1010,1010-10=1000,1000-1000=0(若下标从1开始可不要)，此时查询的下标为10,8，由图可知，所有小于等于11的数字，均存在于下标为10和8的数组内。

因此有查询操作：

for( ; i > 0; i-=lowbit(i)){
	res+=tre[i];
}

2、模板题：

描述：

第一行输入一个n，接下来一行输入n个数，为a1…an,1<=ai<=1e4。

接下来一行输出n个数，对于每个ai，输出其之前比它小的数字的数量。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>

using namespace std;

int n,num;
int tre[1005],ans[1005];

int lowbit(int i){
    return (i & -i);
}

void settre(int i){
    for( ; i < 1005; i += lowbit(i)){
        tre[i]++;
    }
}

int solvetre(int i){
    int res = 0;
    for( ; i; i -= lowbit(i)){
        res+=tre[i];
    }
    return res;
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin>>num;
        ans[i]=solvetre(num-1);
        settre(num);
    }
    cout<<ans[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        cout<<' '<<ans[i];
    }
    cout<<'\n';
    return 0;
}

输入样例：

9
1 5 2 9 4 1 7 8 3

输出样例：

0 1 1 3 2 0 5 6 3

3、实操例题

ACwing 242. 一个简单的整数问题

分析：

本题应将第i个数的差分存入树状数组，以便查询。

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string>
#include<string.h>
typedef long long ll;

using namespace std;

int n, m, num;
int a, b;
ll tre[100005];
int sic[100005];
string k;

ll lowbit(ll i) {
    return (i & -i);
}

void settre(int i, int c) {
    for (; i < n + 1; i += lowbit(i)) {
        tre[i] += c;
    }
}

ll solvetre(int i) {
    ll res = 0;
    for (; i; i -= lowbit(i)) {
        res += tre[i];
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> sic[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        settre(i, sic[i] - sic[i - 1]);
    }
    while(m--){
        cin >> k;
        if (k == "Q") {
            cin >> num;
            cout << solvetre(num) << endl;
        }
        else {
            cin >> a >> b >> num;
            settre(a, num); settre(b + 1, -num);
        }
    }
    return 0;
}