【原创】关于2/(3-2/(3-...2/(3-x)))的收敛性问题

【原创】关于$\frac{2}{3-\frac{2}{3-\cdots \frac{2}{3-x}}}$的收敛性以及2=1的问题

问题背景

最近在网上看到了一个证明2=1的文章，它是这样证明的：
$$2=\frac{2}{3-2}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-2}}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-2}}}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots }}}$$
$$1=\frac{2}{3-1}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-1}}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-1}}}=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots }}}$$
所以2=1

问题提出

这个结果显然让人比较困惑，因为我们好像很难否认这个过程是错的。
要求出那个极限是多少，方法应该很简单，设它是$x$：
$$x=\frac{2}{3-x}\Rightarrow x=1,2$$
我们果然解出了两个根1和2，这是否意味着这个极限不是一个定值呢？
我不禁想起这么一个问题：$\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}$，同样我们会解出两个根2和-1，但是-1因为它显然大于零而被判定是增根舍掉了，而对于本话题，1和2我们没有理由舍掉任何一个。
关于这种分数，如果把分子都化成1，而不是2，就有一个定理，这个定理是说，任何一个有理数都能被化成一个有限的这样的分数，而无理数都能被化成无限个这样嵌套的分数。可是这个分子是2，这个定理似乎无法给我们启示。
那么我们就来考虑函数列极限吧！我们考虑这样的函数列：
$$\left\{f_n=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\cdots \frac{2}{3-x}}}\right\}(嵌套n次)$$
当x取不同值的时候它的收敛性。博主利用了MATLAB做出图像后发现了惊人的事情：只有当$x=2$时，这个函数的值才等于$2$，此外若$n\ne \infty$时，总会有一个点$n_0$，使得$f_n=\infty$，而且$n$越大，这个$n_0$就越接近2：

不仅如此，当$x$取任何非2的值的时候，$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=1$，也就是它总是收敛于1的，2是一个不稳定的收敛点：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\ne 2\\ 2& x=2\end{array}$$

问题分析

对这种现象，我想到了一个方法去解释：
我们计算$f_n(x)$的时候，相当于对$f(x)=\frac{2}{3-x}$进行了$n$次迭代，自变量$x=x_0$就是给予了一个初值$x_0$。 当$x_0=1$或$x_0=2$时，每一次迭代的结果都是精确的1和2，当$x_0$是其它值的时候（函数的自变量取非1和2的任意值，$x_0=3$看作是取$x\to 3$的极限），我们进行下面两种分析：

1. 当x围绕2

我们记$x_0=2+\Delta x$，那么迭代后的$x_1=\frac{2}{1-\Delta x}$，它距离2的距离是$\Delta x_1=x_1-2=\frac{2}{1-\Delta x}\Delta x$：

1. 如果$\Delta x$比较小（接近0）的话，那么$x1$的误差$\Delta x_1$会被放大为$\Delta x$的二倍，那么用$x_1$进行下一次迭代的时候会产生更大的误差。由于我们假设了$\Delta x$接近0，那么它的二倍不会超过1，经过几次迭代放大，迟早有一次它会达到1或-1附近（如果实际计算，只要误差40%左右就可以了），也就是说$\Delta x_k\approx 1$或$-1$，就会进入到情形2、4
2. 如果$\Delta x$在1附近，可以看到迭代之后$\Delta x_1\to \infty$，进入到情形3
3. 如果$\Delta x$很大（$\Delta x\to \infty$），$\Delta x_1\approx -2$，再次迭代得到$\Delta x_2\approx -1.33$，这时候我们就可以认为它接近于-1了（虽然$0.33$的误差看似很大，但这不影响我们的分析——只要误差小于1就可以，这在之后我们将会看到），转到情形4
4. 如果$\Delta x\approx -1$，这就清晰明了了：因为我们看到$2+\Delta x$就会到达1附近
5. 对于其它的情形，也

• 所以，若输入的$x_0$与2稍有偏差，经过若干次迭代之后，$x$的值迟早会到达1附近

2. 当x围绕1

这时，我们设$x_0=1+\Delta x$，得到$x_1=\frac{2}{2-\Delta x}$，因此$x_1$与1的距离$\Delta x_1=x_1-1=\frac{1}{2-\Delta x}\Delta x$。由于之前的分析，当$x\ne 2$时，$x$迟早会到达1附近，我们这次就只需要考虑$\Delta x$比较小的情形就可以了，我们可以很合理地假设$|\Delta x|<1$，而此时，$2-\Delta x>1$，因此$|\Delta x_1|<|\Delta x|$——误差减小了。经过若干次迭代，很明显$\underset{k\to \infty }{\lim }|\Delta x_k|=0$，也就是说，它收敛到了1

结论

经过上面的定性分析，可以比较明显地看到该函数列几乎总是收敛于1的原因，除非$x=2$。虽然这个极限是不存在的（极限存在应当是任何的极限方式都收敛于同一个值），但是我们可以认为它几乎收敛于1，2只是一个特殊情况的收敛值。不过这可以说明2=1的证明是错误的。

后记

我写这篇文章也是心血来潮，突然有了一些想法，就写了这篇文章，可以说写的比较匆忙，并且没有查阅太多的资料。而且，这篇文章只是写了我的一个思路，没有过于深入的探究；我也受到自身数学功底的限制，没有严谨的数学证明。希望有兴趣的读者可以尝试给出严格的证明，也希望读者给出更多的新思路。本文的不足之处还请指正与海涵。