bzoj 1257: [CQOI2007]余数之和sum

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本文介绍了一种高效的方法来计算j(n,k)=kmod1+kmod2+kmod3+…+kmodn的值，通过将k提出并利用区间内k/i值的连续性简化了计算过程。提供了详细的数学推导和代码实现，帮助读者理解并应用到实际问题中。

Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

由于取模运算可以变形为k%i=k-k/i*k；
所以本题就是要求公式

\sum i = n 1 k - k / i * k;

$\sum_{i=n}^{1}k-k/i*k;$
将k提出来后我们可以得到

k * n + \sum i = n 1 k / i * i

$k*n+\sum_{i=n}^{1}k/i*i$
接下来我们来看k/i这个式子，，通过打表（或者感受一下也可以）发现他的值有很大一部分是连续的，那么那连续的一部分是什么呢，假设当前的k/i的值为s=k/now，那么它的终点位置就是k/（s+1）+1也就是说在区间[k/（s+1）+1,now]内k/i的值是固定的，那么变化的就只有i，很显然吧s提出来，该部分剩下的就是

\sum k / (s + 1) + 1 n o w i

$\sum_{k/(s+1)+1}^{now}i$ 然后求出答案即可；

代码灰常简单：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long ans,n,k;
int in() {
    int s=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') s=s*10+c-'0',c=getchar();return s;
}
int main() {
    long long n,k;n=in(),k=in();
    ans=k*n;long long s=1,to=0,now=min(k,n);
    while(now>=1) {
      s=k/now;to=k/(s+1); ans-=(now+to+1)*(now-to)/2*s; now=to;
    } printf("%lld",ans);
}