01背包问题之HDU——2602 Bone Collector

<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; background-color: rgb(255, 255, 255);">01背包问题：</span>

01背包问题是说有一个重量为w的包，有n个物体，第i个物体的重量是w[I],价值是V[I]，每个物体最多只能拿一次，每个物体只有一个，怎样尽可能地装满包，使得价值最大，并且总的体重不超过w；

 

分析：之所以称为01背包是因为物体可以拿也可以不拿。那么分析一下状态，我们需要知道取了第几个物体，以及此时的背包大小最多可装多少价值的物体。

dp[i][j]:i表示取到第i个物体；j表示背包容量为j；dp[i][j]表示最大价值。

状态转移：取到第i个物体背包容量可以装下时，我们可以要，也可以不要，什么时候要这个物体？

————>当要第i个物体时：dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]；（为什么是j-w[i]？模拟一下背包放物体的过程我们就知道，当要放第i个物体时，背包容量就为j-w[i]，剩余背包尽可能多地装前面i-1个物体。）

————>当第i个物体不装时，那么dp[i][j]=dp[i-1][j];

取两者中的最大值。得到的便是最优解。

例题：

Bone Collector

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 29060    Accepted Submission(s): 11871

Problem Description

Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave …
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?

 

Input

The first line contain a integer T , the number of cases.
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.

 

Output

One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 2³¹).

 

Sample Input

1
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1

 

Sample Output

14

 

Author

Teddy

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int dp[maxn][maxn];
int va[maxn];
int w[maxn];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int n,v;
        scanf("%d%d",&n,&v);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&va[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&w[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=v;j++)
            {
                if(j<w[i])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];//如果背包的容量比第i个物体小，放不下这个物体，相当于不放。
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+va[i]);//状态转移。
            }
        }
        printf("%d\n",dp[n][v]);
    }
}

优化如下：

由于当更新到第i个物体是否可放时，我们只需要用到第i-1个物体的状态，因此只需要用一个一维数组记录背包为j时的最大价值，但是要注意要从最大容量更新，因为我们会用到前面小容量的值，从小容量更新会破坏原始数据。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int dp[maxn];//容量为j的背包能放的最大价值
int va[maxn];
int w[maxn];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int n,v;
        scanf("%d%d",&n,&v);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&va[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&w[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=v;j>=w[i];j--)//j从最大更新，只需要更新到w[i]，因为当背包装不下i时无需更新，已经是最大了。
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+va[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[v]);
    }
}