【每日一题Day119】LC1250检查好数组 | 数学

检查好数组【LC1250】

给你一个正整数数组 nums，你需要从中任选一些子集，然后将子集中每一个数乘以一个 任意整数，并求出他们的和。

假如该和结果为 1，那么原数组就是一个「好数组」，则返回 True；否则请返回 False。

积累知识~

「裴蜀定理」的内容为：对于不全为零的任意整数 $a$ 和 $b$，记 $g=gcd(a,b)$，其中 $gcd(a,b)$ 为 $a$和 $b$的最小公约数，则对于任意整数 $x$ 和 $y$ 都满足 $a\times x+b\times y$ 是 g 的倍数，特别地，存在整数 $x$ 和 $y$满足 $a\times x+b\times y=g$。

「裴蜀定理」也可以推广到多个整数的情况。对于不全为零的任意 $n$ 个整数，记这 $n$个数的最大公约数为 $g$，则对于任意 $n$个整数 都满足 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i\times x_i$是 $g$ 的倍数。一个重要的推论是：正整数 $a_1$到 $a_n$ 的最大公约数是 1 的充分必要条件是存在 $n$ 个整数 $x_1$到 $x_n$ 满足 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i\times x_i=1$

• 思路：根据「裴蜀定理」，如果数组中元素的最大公约数为1，那么这个数组一定是好数组

  class Solution {
      public boolean isGoodArray(int[] nums) {
          int ans = nums[0];
          for (int i = 1; i < nums.length; i++){
              ans = gcd(ans, nums[i]);
              if (ans == 1) return true;
          }
          return ans == 1;
      }
      public int gcd(int x, int y){
          if (y == 0){
              return x;
          }
          return gcd(y, x % y);
      }
  }
  

  • 复杂度分析

    • 时间复杂度：$O(n+logm)$，假设数组中元素的最大值为$m$
    • 空间复杂度：$O(1)$