【每日一题Day79】LC2180统计各位数字之和为偶数的整数个数 | 数学 暴力

统计各位数字之和为偶数的整数个数【LC2180】

Given a positive integer num, return the number of positive integers less than or equal to num whose digit sums are even.

The digit sum of a positive integer is the sum of all its digits.

加油啊 惰性起来了 想回学校:(

暴力

• 思路：暴力统计区间$[1,num]$内每个数的数位之和是偶数的个数

• 实现

  class Solution {
      public int countEven(int num) {
          int count = 0;
          for (int i = 1; i <= num; i++){
               if (check(i)){
                   count++;
               }
          }
          return count;  
  
      }
      public boolean check(int num){
          int sum = 0;
          while (num != 0 ){
              sum += num % 10;
              num /= 10;
          }
          return sum % 2 == 0;
      }
      
  }
  

  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(lognum\ast num)$

    • 空间复杂度：$O(1)$

数学

• 思路：

  • 首先找规律，除了$1-9$内有4个数的数位和为偶数，其他每10个数内均有5个数的数位和为偶数，比如10-19，20-29……。
  • 因此可以先算出num中有多少个10的倍数，假设$num=a\ast 10+b$，那么在$[1,a\ast 10-1]$的区间内共有$a\ast 5-1$个数的数位和为偶数
  • 然后计算区间$[a\ast 10,a\ast 10+b]$内有多少个数的数位和为偶数
    • 如果前面的数字的数位和为偶数，那么该区间内对结果的贡献为$\lfloor b/2+1\rfloor =\lfloor (b+2)/2\rfloor$
    • 如果前面的数字的数位和为奇数，那么该区间内对结果的贡献为$\lfloor (b+1)/2\rfloor$
  • 累加可得最终结果

• 实现

  可通过一行代码获得$[a\ast 10,a\ast 10+b]$内的合法数个数，假设数位和为s，那么贡献为(b+2-s&1)/2

  class Solution {
      public int countEven(int num) {
          int a = num / 10, b = num % 10;
          int x = a, s = 0;
          while (x > 0){
              s += x % 10;
              x /= 10;
          }
          return a * 5 - 1 + (b + 2 - (s & 1)) / 2;
  
      }
      
  }
  

  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(lognum)$

    • 空间复杂度：$O(1)$