向量基础知识

向量与标量
向量
:既有大小,又有方向。
标量:只有大小。

零向量:长度为0的向量。

单位向量:长度为1的向量。

平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。零向量与所有向量平行。

相等向量:大小相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合。

 

向量的模

  • 向量的模指的是向量的大小(或长度)。
  • 2D向量(x,y),模长是:
  • 3D向量(x,y,z),其中x,y,z分别是三轴上的坐标,模长是:

单位化向量
单位化(标准化)向量,就是将向量的大小(模)变为1
一个向量除以它的模,得到单位向量。
2D
向量标准化:

3D
向量标准化:



加法

a+b等于使b的始点与a的终点重合时,以a的始点为始点,以b的终点为终点的向量。

  • a+b=(x+x', y+y')
  • 交换律:a+b=b+a
  • 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
  • 如果将第一个向量当作空间中的一个点,那么,第二个向量可理解为从该位置的位移或“跳跃”。例如,要在地面某位置找到一个单位大于 5 的点,可以使用以下方式进行计算:var pointInAir =pointOnGround + new Vector3(0, 5, 0);
  • 如果向量代表力,则更为直观的理解方式是,将其视为含有各自方向和量值的力(量值是指力的大小)。将两个力向量相加所得的新向量即为两者力之和。通常,此概念在计算由多个分力同时作用的力时很有用(例如向前推进的火箭可能会受到侧风的影响)。

 

减法

a-b等于使b的始点与a的始点重合时,以b的终点为始点,以a的终点为终点的向量。

  • a-b=(x-x', y-y')
  • 不满足交换律,即:a-b≠b-a

 

点积

点积(内积、点乘、数量积)是将两个向量相乘得出一个标量的运算。此标量等于两个向量量值相乘的结果再乘以两个向量形成的角度的余弦值。

 

余弦值:

两个向量都为单位向量时,余弦值实际上就是第一个向量在第二个向量上的射影长度(或反之亦然– 参数顺序不会影响结果)。

  • a·b=|a|·|b|·cos<a,b>
  • (λa)·b=λ(a·b)
  • a·a=|a|的平方
  • a⊥b 〈=〉a·b=0
  • a·b=x·x'+y·y'
  • 交换律:a·b=b·a
  • 分配率:(a+b)·c=a·c+b·c
  • 不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c)
  • 它的几何意义就是a的长度与b在a上的投影长度的乘积,或者是b的长度与a在b上投影长的乘积,它是一个标量,而且可正可负。
  • 如果AB = 0,那么向量A和B垂直A⊥B
  • 如果AB < 0,那么向量A和B之间的夹角α > 90°
  • 如果AB > 0,那么向量A和B之间的夹角α < 90°

 

叉积

叉积(外积、矢积、叉乘)的结果仍是一个垂直于两个输入向量的向量

叉积仅适用于三维向量,它输入两个向量,返回另外一个向量作为结果。

结果向量的量值等于两个输入向量量值相乘的结果再乘以两个向量形成角度的正弦值。

“左手坐标系”可用于根据输入向量的顺序表示输出向量的方向。如果第一个参数指向大拇指方向,第二个参数指向食指方向,则结果将指向中指方向。如果参数顺序相反,则结果向量将指向完全相反的方向,但其量值相同。


正弦值:


  • A = [x, y, z] B = [x, y, z]
  • A×B =[AyBz - AzBy, AzBx - AxBz, AxBy - AyBx]
  • (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)
  • 分配律:a×(b+c)=a×b+a×c
  • 不满足交换律,即:a×b ≠ b×a,实际为a×b = -b×a
  • ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积
  • a×a=0
  • a垂直b〈=〉a×b=0
  • 向量没有除法,即“a/b”是没有意义的。

 

平面法线

任何两个3D向量都可以确定一个平面,而平面法线就是一个垂直于该平面的向量,而且其长度为1
平面法线 = (AB) / (||AB||),其实就是对AB进行的标准化后得到的一个模为1的向量。

<think>嗯,用户问的是“pointwise向量的方向要求”,可能是在点积或机器学习中的概念。首先,我需要明确“pointwise”在这里的意思。在数学中,“pointwise”通常指逐点操作,比如逐点乘法。但在向量方向的要求方面,可能与向量的内积有关,也就是点积。 点积的定义是两个向量的对应分量相乘后相加,结果是一个标量。点积的公式是$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$。几何上,点积也可以表示为$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos\theta$,其中$\theta$是向量之间的夹角。所以方向的影响体现在$\cos\theta$上,当两向量同向时,点积最大;反向时最小。这可能就是用户所说的方向要求。 在机器学习中,点积常用于衡量相似性。比如余弦相似度就是标准化后的点积,$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$,这时候方向直接影响相似度的大小。注意力机制中的query和key的点积也类似,方向一致时得分高,表示相关性大。 另外,用户提到的“pointwise向量”可能是指在图神经网络(GN)中的节点或边向量。根据引用[1],GN块的输出通常是向量或张量列表,可以传递给MLP、CNN等块。这时候,点积的方向可能用于计算节点或边之间的交互,比如在消息传递中,两个节点向量的方向是否一致会影响聚合后的结果。 还需要考虑方向归一化的情况。比如在特征处理时,将向量标准化为单位长度,这样点积就等同于余弦相似度,这时候方向的重要性更加突出,长的影响被消除。这在某些机器学习型中很常见,比如推荐系统中的协同过滤。 可能用户的问题还涉及到优化问题,比如在训练神经网络时,参数的更新方向是否与梯度方向一致。但结合上下文,更可能是在特征交互或相似度计算中的方向要求。 总结一下,用户的问题可能是在问点积运算中向量方向的影响,以及机器学习中如何利用方向信息。需要从数学定义和应用场景两方面解释,并结合引用中的GN块输出结构来说明方向要求的具体应用。</think>在机器学习和数学中,点积(dot product)的向量方向要求主要体现在几何意义和特征交互中: ### 1. **点积的数学定义与方向关系** 点积公式为: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos\theta$$ 其中$\theta$为两向量夹角,方向影响$\cos\theta$值: - **方向一致时**($\theta=0$):点积最大,值为$\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|$ - **垂直时**($\theta=90^\circ$):点积为0 - **相反方向时**($\theta=180^\circ$):点积最小,值为$-\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|$ ### 2. **机器学习中的方向要求** - **特征相似性度量**:如余弦相似度(标准化点积)直接依赖方向[^1] - **注意力机制**:Transformer中query-key点积得分与方向关联 - **图神经网络(GN)**:节点/边向量交互时,方向一致性影响消息传递效果 ### 3. **典型应用场景** ```python # 示例:余弦相似度计算 import numpy as np def cosine_similarity(a, b): a_norm = a / np.linalg.norm(a) b_norm = b / np.linalg.norm(b) return np.dot(a_norm, b_norm) # 方向敏感 ``` ### 4. **方向归一化** 当输入向量被标准化为单位长度时($\|\mathbf{v}\|=1$),点积退化为纯方向比较: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \cos\theta$$
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