01背包问题总结-优快云博客

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该文介绍了01背包问题，涉及物品的重量、价值和动态规划数组dp的使用。算法思路是通过比较拿与不拿当前物品的情况下，哪个能获得更大价值。代码展示了如何填充dp数组来找到最优解，并提到可以进行优化，如改用单行数组、最优解回溯以及不从1开始寻找最优解等。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

01背包问题

一、本案例的变量

1.w(i) 第i个物品的重量

2.v(i) 第i个物品的价值

3.dp[i] [j] 容量为j的背包在装前i个物品时的最大价值

4.n表示背包的容重量，m表示物品的数量

二、表格

	j=2	j=3	j=4	j=5	j=6	j=7	j=8	j=9	j=10	j=11
i=0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
i=1 w=2 v=3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
i=2 w=3 v=4	3	4	4	7	7	7	7	7	7	7
i=3 w=4 v=5	3	4	5	7	8	9	9	12	12	12
i=4 w=5 v=6	3	4	5	7	8	9	10	12	13	14

tip：黄颜色的数字有规律，后续可以优化代码

三、算法思路

当j=0 或者 i=0的时候

产生的价值都为0（不管它，不赋值的int数组元素默认值为0）

当j < w[i]时

dp[i] [j] = dp[i-1] [j]

当j >= w[j]时

我们将拿i号物品的情况与不拿i号物品相比较

拿i号物品的情况：v[i] + dp[i-1] [j - w[i]]

不拿i号物品的情况: dp[i-1] [j]

然后选大的

四、代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[32][32];
int w[32],v[32];

int main(){
    //n代表物品的数量，m背包的容量
    int n,m; 
    //用户输入物品的数量n 和 背包的容量m
    cin>>n>>m;
    //给i等于1到n号的重量和价值赋值输入
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    //选取dp的最优价值组合
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j <= m;j++){
            if(j < w[i])
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],v[i] + dp[i-1][j-w[i]]);
        }
    }
    //输出最优组合价值表
    for(int i = 0;i <= n;i++){
        for(int j = 0;j <= m;j++){
            cout<<" "<<dp[i][j];
        }
        cout<<endl;
    }
}