[背包变形] P1858 多人背包

最新推荐文章于 2024-11-03 15:07:20 发布

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探讨了01背包问题的前k优解求解方法，通过增加维度表示第k优解，利用单调序列特性，结合背包问题基本原理，实现了在限定条件下找到所有背包配置的总价值最大值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接https://www.luogu.com.cn/problem/P1858.

题目描述

求01背包前k优解的价值和

DD 和好朋友们要去爬山啦！

他们一共有 K 个人，每个人都会背一个包。这些包的容量是相同的，都是 V。可以装进背包里的一共有 N 种物品，每种物品都有给定的体积和价值。

在 DD 看来，合理的背包安排方案是这样的：每个人背包里装的物品的总体积恰等于包的容量。每个包里的每种物品最多只有一件，但两个不同的包中可以存在相同的物品。

任意两个人，他们包里的物品清单不能完全相同。在满足以上要求的前提下，所有包里的所有物品的总价值最大是多少呢？

输入格式

第一行三个数K、V、N

接下来每行两个数，表示体积和价值

输出格式

前k优解的价值和

输入 #1

2 10 5
3 12
7 20
2 4
5 6
1 1

输出 #1

说明/提示

对于100%的数据,K≤50,V≤5000,N≤200

过程

看到这题一脸懵然后看题解发现了背包9讲然后又去研究发现有点高深又去百度找到了几篇较为通俗易懂的讲解背包的博客然后算是稍微入了入门

这题是第k优解的背包问题算是背包的变形首先这题需要了解01背包的原理已经01背包的一维表达即：f[i]=max(f[i],f[i-w[i]+v[i]);
通过01背包的基本知识我们知道*f[i]的决定因素只有f[i]和f[i-w[i]+v[i]*所以增加一维k代表第k优解那么f[i][k]是在i容量下的第k优解的值那么f[i][1]->f[i][k]是呈单调的序列且f[i][1]是最优解

此时我们设变量a1,a2来分别表示第a1优解和第a2优解
a1指代f[i],a2指代f[i-w[i]+v[i]时然后引用背包九讲中的一句话:一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案 所以在这个过程中较大的存入一个数组中保存并使该k+1 因为在之前的状态中每次保存是最优的前n个(背包基础知识) 所以在后面的检测中按照背包的一个物品一个物品选择会不断更新最好的结果也就可以获得前k(指人数的k)最优解相加即为最有解

注意！！！
背包问题初始值选择参考背包9讲或者直接搜索

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int v,k,n,T=0;
int f[5005][55],w[205],c[205],t[55];

int main(){
	cin>>k>>v>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>w[i]>>c[i];
	for(int i=0;i<=5000;i++){
		for(int j=0;j<=50;j++){
			f[i][j]=-1999999;
		}
	}
	f[0][1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=v;j>=w[i];j--){
			int a1=1,a2=1,total=0;
			while(total<=k){
				if(f[j][a1]>f[j-w[i]][a2]+c[i])
					t[++total]=f[j][a1++];
				else
					t[++total]=f[j-w[i]][a2++]+c[i];
			}
			for(int x=1;x<=k;x++)
				f[j][x]=t[x];
		}
	}
	for(int i=1;i<=k;i++)
		T+=f[v][i];
	cout<<T;
	return 0;	
}