Prim算法

Prim算法思路:一开始,选择一个起始点为最初的解集合,并把起始点能到达的所有目标点作为参考点。在参考点中选择一个距离最短的点,把该目标点加入集合,忽略后续能到达该点的所有路径。再把集合中新加入的点的所有可到达点加入到参考点中,重复选择最短距离点并把该点加入集合。

Prim算法与Dijkstra算法原理类似,但不同的是Prim中比较的点距离为点到解集的距离,而Dijkstra中的距离是该点到源节点1的距离

时间复杂度:
一般Prim O(n^2)

堆优化版 O(mlogm)

 一般写法代码模版:

朴素Prim
dist[i] <-- 正无穷大
for( int i=0 ; i<n ; i++){
    t <-- 找到集合外距离最近的点
    用 t 更新其他点到集合的距离
    st[t] = true
}

一般Prim例题及题解:Prim算法求最小生成树(一般写法)

堆优化思路:

利用优先队列的小顶堆来查找最小距离,在遇到已加入最小生成树的点使用continue跳过

写法可借鉴Prim算法求最小生成树(堆优化写法)

### Prim算法与Kruskal算法的比较 Prim算法和Kruskal算法都是用于求解加权连通图中最小生成树的经典算法。尽管它们的目标相同,但在实现方式、时间复杂度、空间复杂度以及适用场景等方面存在显著差异。 #### 时间复杂度 - **Prim算法**:在最基础的形式下,Prim算法的时间复杂度为 $O(n^2)$,其中 $n$ 表示顶点的数量。通过使用更高效的数据结构如二叉堆优化后,时间复杂度可以降低至 $O(E\log V)$,这里 $E$ 是边的数量,$V$ 是顶点的数量[^1]。 - **Kruskal算法**:Kruskal算法的时间复杂度主要受到排序所有边的影响,通常为 $O(E\log E)$ 或者等价于 $O(E\log V)$,因为边的数量最多可达 $V(V-1)/2$(对于完全图)[^1]。 #### 空间复杂度 - **Prim算法**:其空间复杂度主要取决于顶点数量,大约为 $O(V)$,因为它需要维护一个包含所有顶点的信息的数据结构来跟踪哪些顶点已经被加入到最小生成树中。 - **Kruskal算法**:其空间复杂度则与边数相关,约为 $O(E)$,主要用于存储所有的边及其权重信息。 #### 实现难度 - **Prim算法**:通常认为Prim算法比Kruskal算法更容易实现,尤其是当使用邻接矩阵作为数据结构时。它依赖于优先队列来选择下一个最近的顶点加入到已有的树中。 - **Kruskal算法**:相比之下,Kruskal算法的实现稍微复杂一些,因为它不仅需要对所有边按权重进行排序,还需要一种机制(如并查集)来检测和避免形成环路。 #### 适用场景 - **Prim算法**:更适合处理边稠密的图,即边的数量接近于顶点数量平方的情况。在这种情况下,Prim算法的性能优势更为明显[^3]。 - **Kruskal算法**:对于稀疏图而言,即边的数量远小于顶点数量平方的情况下,Kruskal算法的表现更加出色。由于只需要对所有边进行一次排序,因此在处理大规模稀疏图时效率更高。 综上所述,虽然两种算法都能有效地找到最小生成树,但根据具体的应用场景选择合适的算法是非常重要的。如果图是稠密的,那么Prim算法可能是更好的选择;而对于稀疏图,则推荐使用Kruskal算法。 ```python # 示例代码 - Kruskal算法的基本框架 class UnionFind: def __init__(self, size): self.parent = list(range(size)) def find(self, x): if self.parent[x] != x: self.parent[x] = self.find(self.parent[x]) return self.parent[x] def union(self, x, y): rootX = self.find(x) rootY = self.find(y) if rootX == rootY: return False self.parent[rootY] = rootX return True def kruskal(n, edges): uf = UnionFind(n) res = [] for u, v, weight in sorted(edges, key=lambda x: x[2]): if uf.union(u, v): res.append((u, v, weight)) if len(res) == n - 1: break return res ```
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