1000瓶酒中1瓶毒药用10只小白鼠如何找出？——用二进制思维破解「千瓶毒药」难题？

原创于 2025-02-27 15:15:19 发布 · 2.4k 阅读

17 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法

算法专栏收录该内容

15 篇文章

订阅专栏

一、生死时速的数学谜题

在算法面试中，有这样一道经典逻辑题：

实验室有1000瓶完全相同的药水，其中1瓶被混入剧毒物质。已知小白鼠服毒后会在1小时内死亡，现在给你1小时的时间，至少需要多少只小白鼠才能找出有毒的那瓶药水？

这个看似简单的谜题，实际蕴含着深刻的计算机科学原理。我们先进行初步分析：如果用最笨的"逐一试毒"法，需要999只小白鼠，显然存在巨大的优化空间。而经过数学推导，最终的答案只需10只小白鼠！这背后到底隐藏着怎样的智慧？

二、二进制编码的降维打击

2.1 信息编码的艺术

每个小白鼠的生死状态都承载着1位信息（0表示存活，1表示死亡）。对于n只小白鼠，可以产生2ⁿ种不同的状态组合。要区分1000个可能结果，需要满足：

2ⁿ ≥ 1000 → n ≥ log₂1000 ≈ 9.966

取整数得n=10。这说明至少需要10只小白鼠才能覆盖所有可能性。

2.2 构建二进制坐标系

我们为每瓶药水赋予唯一的10位二进制编号（0000000001到1111101000）。每只小白鼠对应一个特定的二进制位：

小白鼠编号	对应的二进制位	作用说明
1号鼠	第1位（LSB）	检测所有奇数编号药水
2号鼠	第2位	检测编号第2位为1的药水
...	...	...
10号鼠	第10位（MSB）	检测编号512以上的药水

2.3 喂药策略实施步骤

将1000瓶药水按1-1000进行十进制编号
将所有编号转换为10位二进制（如3→0000000011）
对于每只小白鼠：
- 检查所有药水的二进制编号
- 如果该位为1，则让该鼠喝下这瓶药水的样本
1小时后观察哪些小白鼠死亡

三、逆向解码定位毒源

死亡小白鼠的位组合直接构成毒药的二进制编号。例如：

如果1号、3号、5号鼠死亡 → 二进制0000010101 → 十进制21号药水有毒
若只有10号鼠死亡 → 二进制1000000000 → 512号药水有毒

通过这种编码方式，10只小白鼠的生死状态形成了独一无二的二进制ID，精准锁定目标。

以上通过代码实现：

#include "include/header.h"
using namespace std;

#define WINE_NUM_MAX 1024
#define MOUSE_NUM_MAX 10
class Wine {
public:
    Wine(int num) : num_(num) {}
    int num_;
    bool has_drag_{false};

    void SetDrag() {
        has_drag_ = true;
    }
};

class Mouse {
public:
    int num_;
    bool is_alive_{true};
    Mouse(int num) : num_(num) {}
    void Drink(Wine &wine) {
        if (is_alive_ && wine.has_drag_) {
            is_alive_ = false;
        }
    }
};

int main(int argc, char const *argv[]) {
    // 初始化1000 瓶酒，选择一瓶下毒
    vector<Wine> wines;
    for (int i = 0; i < WINE_NUM_MAX; i++) {
        wines.emplace_back(Wine(i));
    }
    // int drag = rand() % WINE_NUM_MAX;
    int drag = 1022;
    wines[drag].SetDrag();
    cout << "The drag wine is: " << wines[drag].num_ << endl;

    // 10只老鼠
    vector<Mouse> mouses;
    for (int i = 0; i <= MOUSE_NUM_MAX; i++) {
        mouses.emplace_back(Mouse(i));
    }

    // 遍历酒的编号 喂老鼠
    for (int i = 0; i < WINE_NUM_MAX; i++) {
        // 酒编号化为二进制数字
        int wine_num = wines[i].num_;
        for (int j = 0; j < MOUSE_NUM_MAX; j++) {
            if ((wine_num >> j) & 1) {
                mouses[j].Drink(wines[i]);
                // cout << "Mouse " << mouses[j].num_ << " drink wine " << wine_num << endl;
            }
        }
    }

    // 检查老鼠死活，输出有毒的酒
    vector<char> res;
    for (int i = 0; i < MOUSE_NUM_MAX; i++) {
        cout << "Mouse " << mouses[i].num_ << " is alive: " << mouses[i].is_alive_ << endl;
        if (!mouses[i].is_alive_) {
            res.emplace_back(1);
        } else {
            res.emplace_back(0);
        }
    }

    // res 转为int
    int res_num = 0;
    for (int i = 0; i < MOUSE_NUM_MAX; i++) {
        res_num += res[i] * (1 << i);
    }

    cout << "Test Result The drag wine is: " << res_num << endl;

    return 0;
}

运行结果：

The drag wine is: 1022
Mouse 0 is alive: 1
Mouse 1 is alive: 0
Mouse 2 is alive: 0
Mouse 3 is alive: 0
Mouse 4 is alive: 0
Mouse 5 is alive: 0
Mouse 6 is alive: 0
Mouse 7 is alive: 0
Mouse 8 is alive: 0
Mouse 9 is alive: 0
Test Result The drag wine is: 1022