UVa 11481 Arrange the Numbers (组合数学+容斥原理)

最新推荐文章于 2020-11-29 10:29:48 发布

原创最新推荐文章于 2020-11-29 10:29:48 发布 · 649 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#UVa #组合数学 #容斥原理

UVa 同时被 2 个专栏收录

19 篇文章

订阅专栏

数学-组合数学

6 篇文章

订阅专栏

本文解析了UVa11481题目，该题要求计算特定条件下序列的排列方案数，并通过容斥原理解决重排限制条件下的计数问题。介绍了使用组合数学与排列知识来求解的方法。

UVa 11481 Arrange the Numbers

题目大意:

可以将序列 $1,2,3,...n$ 任意重排,但重排后的前 $m$ ( $m\leq n$ )个位置恰好有 $k$ ( $k\leq m$ )个不变,求方案数除以1000000007的余数.
(注意是前m个位置恰好有k个不变,也就是说前m个位置的另外m-k个必须改变)

题目分析:

首先,前m个位置恰好有k个不变,则有 $C_{m}^{k}$ 个方案数,那么总共的方案数为 $C_{m}^{k}*A_{n-k}^{n-k}$ .

但是,方案数中还存在前m个元素中另外m-k个元素仍在原位置的情况.

利用容斥原理:
减去1个元素在原位置的方案数,加上2个元素在原位置的方案数…

所以总方案数为 $C_{m}^{k}*(A_{n-k}^{n-k}-\sum_{i=1}^{n-k}(-1)^i*C_{m-k}^{i}*A_{n-k-i}^{n-k-i})$ .

代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=1000;
const int MOD=1000000007;

int C[maxn+1][maxn+1],A[maxn+1];//C[i][j]表示i个元素选j个元素的种类数,A[i]表示i个元素选i个元素的排列种类数 

void init(int n)
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;
    }
    A[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) A[i]=(1ll*A[i-1]*i)%MOD;
}

int main()
{
    init(maxn);
    int T,N,M,K,kase=0;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);
        int B=A[N-K];
        for(int i=1;i<=N-K;i++) B=(0ll+B+((i&1)?-1:1)*(1ll*C[M-K][i]*A[N-K-i]%MOD))%MOD;
        B=(B%MOD+MOD)%MOD;//注意加法和乘法的溢出 
        printf("Case %d: %lld\n",++kase,1ll*C[M][K]*B%MOD);
    }
    return 0;
}