UVa 10892 LCM Cardinality (数论+组合数学)

UVa 10892 LCM Cardinality


题目大意:

输入正整数n(n2109),统计有多少对正整数ab,满足lcm(a,b)=n.输出n和形成的对数.

题目分析:

(想了好一会儿,orz……)

若将数拆分成唯一分解式,可以发现

a=pk11pk22...pknnb=pk11pk22...pknn

则有gcd(a,b)=pmin(k1,k1)1pmin(k2,k2)2...pmin(kn,kn)nlcm(a,b)=pmax(k1,k1)1pmax(k2,k2)2...pmax(kn,kn)n

那么显然,对于ab而言,对于n中存在的某一质因数pi则有max(ka,kb)=kn.
所以

ka=kn时,0kb<kn,共计kn
kb=kn时,0ka<kn,共计kn

则总共为kn2+1(+1的原因是还有ka=kb=kn)
当然最后的答案为ans/2+1(只取ab情况)

代码:

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

int main()
{
    int n;ll ans;
    while(scanf("%d",&n)==1&&n) {
        int m=sqrt(n),t=n;ans=1;
        for(int i=2;i<=m&&t!=1;i++) if(t%i==0) {
            int cnt=0;
            while(t%i==0) t/=i,++cnt;
            ans*=(cnt*2+1);//指数均为cnt的仅能计算一次 
        }
        if(t>1) ans*=3;
        printf("%d %lld\n",n,ans/2+1);//加上a=b=n的情况 
    }
    return 0;
}
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