快速素数测试

最新推荐文章于 2020-07-16 22:04:06 发布

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#密码学 #素数 #费马定理 #欧拉函数 #拉宾米勒

本文介绍了快速素数测试，重点讲解了拉宾米勒测试。通过费马小定理和欧拉函数的基础知识，阐述了如何利用蒙格马利算法快速求幂和素数判定。拉宾米勒测试作为一个不确定的算法，虽然不能确保结果，但在概率上能有效判断一个数可能是素数。

快速素数测试

前提知识

1. 费马小定理

有一任意正整数N，P为素数，且N不能被P整除（显然N和P互质），则有：N^P%P=N(即：N的P次方除以P的余数是N)。
N^P%P=N＝>(N^P-N)%P=0=>(N＊(N^(P-1)-1))%P=0
=>(N^(P-1)-1))%P＝0 因为n p互质＝>
N^(P-1)%P=1,即 a(p-1)≡1（mod p）
证明：可见:阮一峰先生写的证明主要是先分5种情况，证明欧拉函数。然后再证明欧拉定理，而欧拉定理的一个特例就是费马小定理。

2.积模分解公式

如果有：X%Z=0，即X能被Z整除，则有：(X+Y)%Z=Y%Z
设有X、Y和Z三个正整数，则必有：(X＊Y)%Z=((X%Z)＊(Y%Z))%Z
分情况讨论：

1.当X和Y都比Z大时，必有整数A和B使下面的等式成立：
X=Z*I+A（1）
Y=Z*J+B（2）
将（1）和（2）代入(X＊Y)modZ得：((Z＊I+A)(Z＊J+B))%Z乘开，再把前三项的Z提一个出来，变形为：(Z*(Z*I*J+I*A+I*B)+A*B)%Z（3）
因为Z*(Z*I*J+I*A+I*B)是Z的整数倍……晕，又来了。
概据引理，（3）式可化简为：(A*B)%Z又因为：A=X%Z，B=Y%Z，代入上面的式子，就成了原式了。
2.当X比Z大而Y比Z小时，一样的转化：
X=Z*I+A
代入(X*Y)%Z得：
(Z*I*Y+A*Y)%Z
根据引理，转化得：(A*Y)%Z
因为A=X%Z，又因为Y=Y%Z，代入上式，即得到原式。
同理，当X比Z小而Y比Z大时，原式也成立。
3.当X比Z小，且Y也比Z小时，X=X%Z，Y=Y%Z，所以原式成立。

一些重要函数分析

1. 蒙格马利算法快速求幂

unsigned Power(unsigned n, unsigned p) 
{ // 计算n的p次方
    unsigned odd = 1; //oddk用来计算“剩下的”乘积
    while (p > 1)
    { // 一直计算到指数小于或等于1
       if (( p & 1 )!=0)
      { // 判断p是否奇数，偶数的最低位必为0
             odd *= n; // 若odd为奇数，则把“剩下的”乘起来
      }
      n *= n; // 主体乘方
      p /= 2; // 指数除以2
     }
    return