extendGcd,即扩展欧几里得算法的C++模板化解释

最新推荐文章于 2022-11-06 11:45:45 发布

原创最新推荐文章于 2022-11-06 11:45:45 发布 · 2.6k 阅读

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#acm #博客 #算法 #c语言 #数学

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本文详细介绍了扩展欧几里得算法的基本原理及其在解决数学问题中的应用，通过具体代码实例展示了算法的实现过程。同时，文章以POJ1061青蛙的约会问题为例，说明了如何利用扩展欧几里得算法解决实际问题，旨在帮助读者掌握该算法并提升编程能力。

刚刚接触感觉很高大上的“扩展欧几里得算法“，很郁闷，研究了很久。现在感觉能够套模板了，当然这样是远远不够的，不过先写篇博客记录一下最近的动态。帮助自己记忆，也可以帮助大家理解下这个数学算法，当然欢迎各位的斧正和指点，我将不断努力！

首先，明确我们要求ax+by=c中x,y的整数解（至于没有解的情况下边会讨论）

大家应该看到过ax+by=Gcd(a,b)的式子，现在我也不明白这是什么，以下是我大概能够死记硬背的（大家能学会的还是去学学原理）。

先求gcd(a,b),程序如下:

typedef long long LL;
using namespace std;

LL gcd(LL a,LL b){
    while(a%b){
        LL temp=b;
        b=a%b;
        a=temp;
    }
    return b;
}

LL d=gcd(a,b);

后，a/=d,b/=d,c/=d;这里有当c%d!=0是，ax+by=c不存在整数解（我也不知道为什么，真的模板化了)

于是原式变成a'x+b'y=c'。据说那个扩展欧几里得求的是a'x+b'y=1的解，给出extendGcd(a,b)的模板

void exGcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return ;
    }
    exGcd(b,a%b,x,y);
        LL temp;
        temp=y;
        y=x-a/b*y;
        x=temp;
}

这里不难得到修改后的x,y为方程a'x+b'y=1的解，那么c'x0,c'y0就是a'x+b'y=c'的一组特解了，根据参数方程的性质，我们引入t（整数）来写出x,y通解的参数方程x=c'x0-b't，y=c'y0+a't。

通常题目要求我们求问题的最小解，所以当x->0时，我们求出的t=c'x0/b(这里是有误差的，因为在C语言中的除不一定，事实上，我们可以判断下x<0时，可以让t=t+1。

下面来看一道典型的模板题吧。

poj 1061

青蛙的约会

Time Limit: 1000MS		Memory Limit: 10000K
Total Submissions: 96453		Accepted: 18021

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>

typedef long long LL;
using namespace std;

LL gcd(LL a,LL b){
    while(a%b){
        LL temp=b;
        b=a%b;
        a=temp;
    }
    return b;
}

void exGcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return ;
    }
    exGcd(b,a%b,x,y);
        LL temp;
        temp=y;
        y=x-a/b*y;
        x=temp;
}
int main()
{
    LL x,y,m,n,l,ans,key,t;
    while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)){
        /* (n-m)*ans+k*l=x-y;
         * n-m=a,ans=x,k=y,l=b,x-y=c;
         *   a*x+b*y=c;
         */
        LL a=n-m,b=l,c=x-y;
        LL d=gcd(a,b);
        //cout <<  d  <<endl;
        if(c%d) {printf("Impossible\n");continue;}

        a/=d;b/=d;c/=d;
        exGcd(a,b,ans,key);

        t=c*ans/b;
        ans=c*ans-t*b;
        if(ans<0)
            ans+=b;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}

学不好的我..只好这样背公式了，希望以后能学好！