Dijkstra算法

Dijkstra算法适用于最短路问题中边权为正的情况，可用于计算单源最短路，即从单个源点出发，到各个结点的最短路。该算法同时适用于有向图和无向图，并且图中可有环。

《算法竞赛入门经典》一书中将该算法思路作如下描述：

                            设数组 d [ i ] 表示 从 源点 到 结点 i 的 最短路。

     d [ 0 ] = 0，其他 d [ i ] = INF

     循环n次{

                                        在所有未标记的节点中，选出 d 值最小的结点

                                        给结点 x 做标记

                                        对于从 x 出发的所有边 ( x , y )，更新 d [ y ] = min { d [ y ] , d [ x ] + w ( x , y ) }

      }

对应的程序为：

/*
* 起点为0，路径长度为 d[i] 
* 未标记的结点 v[i]=0，已标记的结点 v[i]=1
* w[x][y]==INF 时表示边(x,y)不存在
*/

memset(v,0,sizeof(v));
for(int i = 0; i < n; i++)  d[i] = ( i==0 ? 0 : INF );
for(int i = 0; i < n; i++) {
    int x,m = INF;
    // 选出 d 值最小的结点x 
    for(int y = 0; y < n; y++) if(!v[y] && d[y]<=m) m = d[x=y];
    // 给结点 x 标记
    v[x] = 1;
    // 更新
    for(int y = 0; y < n; y++) d[y] = min(d[y], d[x] + w[x][y]);
}

接下来演示Dijkstra算法的具体思路：

图中所有的点的权值都从无穷INF开始。

1.一开始所有的都是无穷，随便选一个结点都是最好的选择，我们不妨选A

2.从A出发，观察到 A → B为20，A → G为90，A → D为80，则更新这三个值，并将当前最小值20的结点标记。

如下图（灰色表示当前选择的结点，黄色表示已标记的结点，INF表示无穷）：

3.在上一步中可看出A到B的距离最短，所以现在从B点开始，更新，并在未标记结点中，将最小值的F点标记：

4. 重复

5.最后得出：