#34. 多项式乘法

UOJ的FFT板子

我分别写了fft 与 ntt...

ntt与fft的差别仅在于复数运算这一块...

FFT代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
#define PI acos(-1)
#define rep(i,x,y) for(register int i = x; i <= y ; ++ i)
#define repd(i,x,y) for(register int i = x; i >= y ; -- i)
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T&x)
{
	x = 0; char c;int sign = 1;
	do { c = getchar(); if(c == '-') sign = -1; }while(!isdigit(c));
	do { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }while(isdigit(c));
	x *= sign;
}

const int N = 4e5 + 500;

struct cpx
{
	double x,y;
	
	cpx(){}
	cpx(double a,double b) { x = a,y = b; }
	
	inline cpx operator * (cpx b) { return cpx(x*b.x - y * b.y,b.x*y + b.y * x); }
	inline cpx operator *= (cpx b) { *this = *this * b; }
	inline cpx operator + (cpx b) { return cpx(x + b.x,y + b.y); }
	inline cpx operator - (cpx b) { return cpx(x - b.x,y - b.y); }
}A[N],B[N];

int m,M,n,L,R[N];

inline void fft(cpx*a,int f)
{
	rep(i,0,n - 1) if(i < R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
	for(register int i = 1 ; i < n ; i <<= 1)
	{
		cpx nw = cpx(cos(PI/i),f*sin(PI/i));
		for(register int j = 0 ; j < n ; j += (i << 1))
		{
			cpx w = cpx(1,0);
			for(register int k = 0; k < i ; ++k, w *= nw)
			{
				cpx x = a[j + k],y = w * a[i + j + k];
				a[j + k] = x + y; a[i + j + k] = x - y;	
			}
		}
	}
	
	if(f == -1) rep(i,0,n - 1) a[i].x /= n;
}

int main()
{ 
	read(n); read(m);
	rep(i,0,n) scanf("%lf",&A[i].x);
	rep(i,0,m) scanf("%lf",&B[i].x);
	
	m = n + m;
	for(n = 1;  n <= m; n <<= 1,++L);
	rep(i,0,n - 1) R[i] = (R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
	
	fft(A,1); fft(B,1);
	rep(i,0,n - 1) A[i] *= B[i];
	fft(A,-1);
	rep(i,0,m) printf("%d ",(int)(A[i].x + 0.5));
	
	return 0;
}

NTT代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,x,y) for(register int i = x;i <= y; ++ i)
#define repd(I,x,y) for(register int i = x;i >= y; -- i)
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T&x)
{
	x = 0;char c;int sign = 1;
	do { c = getchar(); if(c == '-') sign = -1; }while(!isdigit(c));
	do { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }while(isdigit(c));
	x *= sign;
}

const int g = 3,mod = 998244353,N = 4e5+50;

int n,m,L,R[N];
ll a[N],b[N];

inline int quick_pow(int x,int y)
{
	int ans = 1;
	while(y)
	{
		if(y&1) ans = 1ll * ans * x % mod;
		x = 1ll * x * x % mod;
		y >>= 1;
	}
	return ans;
}

inline void ntt(ll*a,int f)
{
	rep(i,0,n-1) if(i < R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
	for(register int i = 1 ; i < n ; i <<= 1)
	{
		ll wn = quick_pow(g,(mod - 1)/(i << 1));
		if(!(~f)) wn = quick_pow(wn,mod - 2);
		for(register int j = 0; j < n ; j += (i << 1))
		{
			ll w = 1;
			for(register int k = 0; k < i;++k,w = w*wn%mod)
			{
				ll x = a[j + k],y = w * a[i + j + k] % mod;
				a[j + k] = ((x + y) % mod + mod) %mod;
				a[i + j + k] = ((x - y) % mod + mod) %mod;
			}
		}
	}
	if(!(~f))
	{
		int inv = quick_pow(n, mod - 2);
		rep(i,0,n - 1) a[i] = 1ll * a[i] * inv % mod;
	}
}

int main()
{
	read(n); read(m);
	rep(i,0,n) read(a[i]);
	rep(i,0,m) read(b[i]);
	m = n + m;
	for(n = 1;n <= m; n <<= 1,L++);
	rep(i,0,n - 1) R[i] = (R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1)<<(L - 1)); 
	ntt(a,1); ntt(b,1);
	rep(i,0,n - 1) a[i] = 1ll * a[i] * b[i] %mod;
	ntt(a,-1);
	rep(i,0,m) printf("%lld ",a[i]);
	
	return 0;
}

分治fft

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,x,y) for(register int i = x;i <= y; ++ i)
#define repd(i,x,y) for(register int i = x;i >= y; -- i)
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T&x)
{
	char c;int sign = 1;x = 0;
	do { c = getchar(); if(c == '-') sign = -1; }while(!isdigit(c));
	do { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }while(isdigit(c));
	x *= sign;
}

const int G = 3,mod = 998244353;
inline int ksm(int x,int y)
{
	int ans = 1;
	while(y)
	{
		if(y&1) ans = 1ll * ans * x % mod;
		x = 1ll * x * x % mod; y >>= 1;
	}
	return ans;
}

const int N = 4e5 + 50;
int R[N],g[N],f[N],a[N],b[N];

inline void ntt(int*a,int f,int n)
{
	rep(i,0,n - 1) if(R[i] < i) swap(a[i],a[R[i]]);
	for(register int i = 1;i < n; i <<= 1)
	{
		int wn = ksm(G,(mod-1)/(i<<1));
		if(!(~f)) wn = ksm(wn,mod-2);
		for(register int j = 0;j < n;j += (i << 1))
		{
			int w = 1;
			for(register int k = 0;k < i; ++ k,w = 1ll * w * wn % mod)
			{
				int x = a[j + k],y = 1ll * w * a[i + j + k] % mod;
				a[j + k] = x + y; a[i + j + k] = x - y;
				if(a[j + k] >= mod) a[j + k] -= mod;
				if(a[i + j + k] < 0) a[i + j + k] += mod;
			}
		}
	}
	if(!(~f))
	{
		int inv = ksm(n,mod - 2);
		rep(i,0,n-1) a[i] = 1ll * a[i] * inv % mod;
	}
}

inline void solve(int l,int r)
{
	if(l == r) return ;
	int mid = l + r >> 1;
	solve(l,mid);
	int m = mid - l + 2 + r - l,len,L = 0;
	for(len = 1;len <= m;len <<= 1) ++ L;
	rep(i,0,len-1) a[i] = b[i] = 0;
	rep(i,0,mid - l) a[i] = f[i + l];
	rep(i,0,r - l) b[r - l - i] = g[r - i - l];
	rep(i,0,len - 1) R[i] = (R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
	ntt(a,1,len); ntt(b,1,len);
	rep(i,0,len - 1) a[i] = 1ll * a[i] * b[i] % mod;
	ntt(a,-1,len); rep(i,mid+1,r) f[i] = (f[i] + a[i-l])%mod;
	solve(mid+1,r);
}

int main()
{
	int n;
	read(n);
	rep(i,1,n-1) read(g[i]);
	f[0] = 1; solve(0,n-1);
	rep(i,0,n-1) printf("%d ",f[i]);
	return 0;
}

 

 

### 大整数乘法算法概述 大整数乘法是指处理超出标准数据类型范围的大整数之间的乘法操作。传统的逐位相乘方法效率较低,因此需要更高效的算法来解决这一问题。以下是几种常见的大整数乘法算法及其实现方式。 #### 1. 分治思想的应用 Toom-Cook 算法是一种基于分治思想的高效算法,它通过将大整数分割成若干部分并利用多项式乘法替代传统整数乘法的方式提高计算效率[^1]。具体来说,该算法的核心在于选择合适的多项式形式以及分割策略,使得整个过程可以分解为多个子问题求解后再组合结果。 #### 2. Karatsuba 算法详解 Karatsuba 算法也是一种经典的分治算法,在实际应用中表现优异。假设给定两个长度为 \( n \) 的大整数 \( x \) 和 \( y \),它们被划分为两段,每段长度约为 \( n/2 \)[^4]。设: \[ x = A \cdot B^{n/2} + C,\quad y = D \cdot E^{n/2} + F, \] 其中 \( A, B, C, D, E, F \) 均为较短的小整数片段。根据上述划分,\( xy \) 可以重写为三个主要部分的加权和: \[ xy = (AD)\cdot(BE)^{n}+(AF+CD)\cdot(BE)^{n/2}+(CF). \] 为了减少不必要的重复计算,引入中间变量 \( u = AD, v = AF+CD, w = CF \)[^2]。这些值可以通过递归调用相同的方法进一步拆解直至达到基本情况——单个数字间的简单乘积为止[^3]。 #### 3. Python 实现示例 下面提供了一个简单的 Karatsuba 算法的 Python 实现版本供参考: ```python def karatsuba(x, y): # Base case for recursion termination. if x < 10 or y < 10: return x * y max_len = max(len(str(x)), len(str(y))) half_max_len = max_len // 2 a = x // 10**(half_max_len) b = x % 10**(half_max_len) c = y // 10**(half_max_len) d = y % 10**(half_max_len) ac = karatsuba(a, c) bd = karatsuba(b, d) ad_plus_bc = karatsuba(a+b, c+d) - ac - bd result = ac * 10**(2*half_max_len) + ad_plus_bc * 10**half_max_len + bd return result print(karatsuba(12345678, 87654321)) # Example usage of the function. ``` 此代码实现了 Karatsuba 算法的基本逻辑框架,并展示了如何递归地解决问题。 #### 总结 无论是 Toom-Cook 还是 Karatsuba 算法都体现了现代计算机科学领域对于优化复杂运算任务的努力成果。通过对原始问题的有效切割与重组,不仅降低了理论上的时间复杂度,也极大地提升了实际运行性能。
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