Formal System-Hilbert计算(Hilberkalkül)

Hilbert

人物介绍：
全名David Hilbert(1862-1943),德国人。
就这么多了。。。

Hilbet计算(Hilbertkalkül)

已知x为变量，t为term，$\alpha,\beta,\gamma$是Formel
为了方便我们只介绍使用$\lnot,\rightarrow,\forall$操作的情况//其他的子集变形？？？（前面是名字）

$$Abschwächung:\alpha \rightarrow(\beta \rightarrow \alpha) \\ Verteilung von \rightarrow:(\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma))\rightarrow((\alpha \rightarrow \beta)\rightarrow(\alpha \rightarrow \gamma))\\ Kontraposition:(\lnot \alpha \rightarrow \lnot \beta)\rightarrow(\beta \rightarrow \alpha)\\ Instantiierung:\forall x \alpha\rightarrow\{x/t\}(a)(替换无冲突)\\ \forall-Verschiebung:\forall x(\alpha \rightarrow \beta)\rightarrow(\alpha \rightarrow \forall x \beta) \ \ \ x\notin Free(\alpha)\\ Modus ponenes:\frac{\alpha,\alpha \rightarrow \beta}{\beta} Generalisierung:\frac{\alpha}{\forall x \alpha}$$

例子

推导$\vdash_{H0}A \rightarrow A$(H0代表表达逻辑的意思)

$$1.A \rightarrow ((A \rightarrow A)\rightarrow A)\\ 2.A \rightarrow ((A \rightarrow A)\rightarrow A)\rightarrow ((A \rightarrow (A \rightarrow A))\rightarrow(A \rightarrow A))\\ 3.由1，2可得：(A \rightarrow(A \rightarrow A))\rightarrow (A \rightarrow A)\\ 4.A \rightarrow(A \rightarrow A)\\ 5.由3，4可得：A \rightarrow A$$
上面的1，4为Abschwächung,2为Verteilung von $\rightarrow$为已知

定理(Deduktionstheorem)

已知M为Formel集，A，B为Formel，其中A不含有自由变量，那么就有：

$$M \vdash_{H} A\rightarrow B \Leftrightarrow M \cup \{A\} \vdash_HB$$

例子

推导$(A \rightarrow B)\rightarrow((B\rightarrow C)\rightarrow(A\rightarrow C))$是永真的

$$triv:\{A \rightarrow B, B \rightarrow C, A\} \vdash A\\ triv:\{A \rightarrow B, B \rightarrow C, A\} \vdash A \rightarrow B\\ MP:\{A \rightarrow B, B \rightarrow C, A\} \vdash B\\ triv:\{A \rightarrow B, B \rightarrow C, A\} \vdash B \rightarrow B\\ MP:\{A \rightarrow B, B \rightarrow C, A\} \vdash C \\ DT:\{A \rightarrow B, B \rightarrow C,\} \vdash A \rightarrow C\\ DT:\{A \rightarrow B\} \vdash (B \rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C)\\ DT:\{A \rightarrow B\} \vdash(A \rightarrow B)\rightarrow((B DT:\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))$$

定理：PL的完备性(Vollständigkeit der PL1)

已知$\sum$是一个PL1的Signatur，那么就有：
H是对$\sum$正确的而且是完备的
(Dann ist H über $\sum$ korrekt und vollständig)
对于多有的M $\subseteq For_\sum$，$A \in For_\sum$有：

$$M \vDash A \Leftrightarrow M \vdash_H A$$

由上一个定理推出的定理

Kompaktheitssatz(就是个名字，紧凑定理？？):
对任意的M$\subseteq For_\sum,A\in For_\sum$有：

$$M \vDash A \Leftrightarrow E \vDash A$$
其中E为M的任意子集
Endlichkeitssatz：
一个集合M $\subseteq For_\sum$有且仅有一个Modell，当M的每个有限子集都有一个Modell
Endlichkeitssatz是Kompaktheitssatz在 A=0时的一个特例。//没懂？？
证明也没懂？？