Hilbert变换及谱分析

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不负韶华T

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在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数 $s(t)\,$ 的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为 $\mathcal{H}$ ——是将信号 $s(t)\,$ 与 $1/(\pi t)\,$ 做卷积，以得到 $\widehat s(t)$ 。因此，希尔伯特转换结果 $\widehat s(t)$ 可以被解读为输入是 $s(t)\,$ 的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为 $1/(\pi t)\,$ 。这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。）

希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。

定义

希尔伯特转换定义如下：

\widehat s(t) = \mathcal{H}\{s\} = h(t)*s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) h(t-\tau) d\tau = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{s(\tau)}{t-\tau}\, d\tau.\,

其中

h(t) = \frac{1}{\pi t}\,

并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在 $\tau = t\,$ 以及 $\tau=\pm \infty\,$ 等处的奇点。

另外要指出的是：若 $s\in L^p(\mathbb{R})$ ，则 $\mathcal{H}(s)$ 可被定义，且属于 $L^p(\mathbb{R})$ ；其中 $1<p<\infty$ 。

频率响应

希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：

H(\omega ) = \mathcal{F}\{h\}(\omega)\, = -i\cdot \sgn(\omega)

其中

$\mathcal{F}$ 是傅立叶变换，
i (有时写作j )是虚数单位，
$\omega \,$ 是角频率，以及
$\sgn(\omega) =\begin{cases}\ \ 1, & \mbox{for } \omega > 0,\\\ \ 0, & \mbox{for } \omega = 0,\\-1, & \mbox{for } \omega < 0,\end{cases}$

即为符号函数。

既然：

\mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega) = H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{s\}(\omega)

希尔伯特转换会将负频率成分 $s(t)\,$ 偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。

反（逆）希尔伯特转换

我们也注意到： $H^2(\omega ) = -1\,$ 。因此将上面方程式乘上 $-H(\omega )\,$ ，可得到：

\mathcal{F}\{s\}(\omega) = -H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega)

从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换

s(t) = -(h * \widehat s)(t) = -\mathcal{H}\{\widehat s\}(t).\,

特性

边界

若 1<p<∞，则 L^p(R)之希尔伯特转换为一有界算子，表示存在一常数C_p使得

\|Hu\|_p \le C_p\| u\|_p

对所有 u∈L^p(R)。这个定理由Riesz (1928， VII)所推得；请一并参见Titchmarsh (1948， Theorem 101)。最佳常数C_p可由下列算式得到:

C_p = \begin{cases} \tan \frac{\pi}{2p} & \text{for } 1 < p \leq 2\\ \cot \frac{\pi}{2p} & \text{for } 2 < p < \infty\end{cases}

这个结果由（Pichorides 1972）所推得；请一并参见Grafakos (2004， Remark 4.1.8)。上述最佳常数计算方式应用在周期性希尔伯特转换一样成立。

希尔伯特转换的边界指的是 L^p(R) 对称级数运算子对于在 L^p(R) 之中 f 的收敛

S_R f = \int_{-R}^{R}\hat{f}({\xi})e^{2\pi i x\xi}\,d\xi

请参见（Duoandikoetxea 2000，p.59）。

反自伴性

希尔伯特转换为一反自伴算子，连结 L^p(R) 与其对偶空间 L^q(R)，其中 p 和 q 为赫尔德共轭且 1 < p,q < ∞. 以符号表示

\langle Hu, v \rangle = \langle u, -Hv \rangle

对 u ∈ L^p(R) 且 v ∈ L^q(R) （Titchmarsh 1948，Theorem 102）.

逆转换

希尔伯特转换为一反-对合（Titchmarsh 1948，p.120），意即

H(H(u)) = -u

假定每一转换皆完整定义过。由于 H 保存了 L^p(R)空间，这特别代表希尔伯特转换在 L^p(R) 上是不可逆的，且

H^{-1} = -H

微分

正式上，一个式子其希尔伯特转换的微分即为其微分的希尔伯特转换，意即这两者是可以交换的线性算子

H\left(\frac{du}{dt}\right) = \frac{d}{dt}H(u)

此一特性亦可迭代

H\left(\frac{d^ku}{dt^k}\right) = \frac{d^k}{dt^k}H(u)

给定 u 以及其前k次微分皆属于L^p(R) （Pandey 1996，§3.3）空间，此项论述为严格成立。在频域上可以轻易验证这件事情，由于微分在频域上即为与 ω 之乘积。

旋积

希尔伯特转换可表示为与一调节分布之旋积（Duistermaat & Kolk 2010，p.211）

h(t) = \text{p.v. }\frac{1}{\pi t}

因此可如此表示

H(u) = h*u

然而，事前此特性可能只有对紧支撑之分布 u定义。由于紧支撑函数在 L^p 上是稠密的，因此此项特性可能严格成立。另一角度来看，也可使用h(t) 其微分之特性来证明

H(u)(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\pi} (u*\log|\cdot|)(t)\right)

在大部分的用途，希尔伯特转换可被视为是一旋积。举例而言，旋积与希尔伯特转换具备下列可交换的特性

H(u*v) = H(u)*v = u*H(v)

若 u 和 v 为紧支撑分布，则此项论述严格成立，在这个状况下

h*(u*v) = (h*u)*v = u*(h*v)

不变性

希尔伯特转换在空间 L²(R) 上有下列特性

可与算子 T_aƒ(x) = ƒ(x + a) 交换，对所有实数 a
可与算子 M_λƒ(x) = ƒ(λx) 交换，对所有 λ > 0
可与镜射 Rƒ(x) = ƒ(−x) 反交换

实际上，有更大一部分的算子可与希尔伯特转换交换。群组 SL(2,R) 由幺正算符 U_g 可在空间 L²(R) 上由以下式子表示

\displaystyle{U_{g}^{-1}f(x) = (cx + d)^{-1} f\left({ax + b \over cx + d}\right),\,\,\,g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}

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print?
 % Hilbert transform testing  
 clc  
 clear all  
 close all  
   
 ts = 0.001;  
 fs = 1/ts;  
 N = 200;  
 f = 50;  
 k = 0:N-1;  
 t = k*ts;  
   
 % signal transform  
 % 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号  
 y = sin(2*pi*f*t);  
 yh = hilbert(y);    % matlab函数得到信号是合成的复信号  
 yi = imag(yh);      % 虚部为书上定义的Hilbert变换  
   
 figure  
 subplot(221)  
 plot(t, y)  
 title('原始sin信号')  
 subplot(222)  
 plot(t, yi)  
 title('Hilbert变换信号')  
   
 % 检验两次Hilbert变换的结果（理论上为原信号的负值）  
 % 结论：两次Hilbert变换的结果为原信号的负值  
 yih = hilbert(yi);  
 yii = imag(yih);  
 max(y + yii)  
   
 % 信号与其Hilbert变换的正交性  
 % 结论：Hilbert变换后的信号与原信号正交  
 sum(y.*yi)  
   
 % 谱分析  
 % 结论：Hilbert变换后合成的复信号的谱没有大于奈氏频率的频谱，即其谱为单边的  
 NFFT = 2^nextpow2(N);  
 f = fs*linspace(0,1,NFFT);  
 Y = fft(y, NFFT)/N;  
 YH = fft(yh, NFFT)/N;  
   
 %figure  
 subplot(223)  
 plot(f,abs(Y))  
 title('原信号的双边谱')  
 xlabel('频率f (Hz)')  
 ylabel('|Y(f)|')  
 subplot(224)  
 plot(f,abs(YH))  
 title('信号Hilbert变换后组成的复信号的双边谱')  
 xlabel('频率f (Hz)')  
 ylabel('|YH(f)|')  

第一个程序效果如下