LeetCode 84 | 单调栈解决最大矩形问题

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今天是LeetCode专题第52篇文章，我们一起来看LeetCode第84题，Largest Rectangle in Histogram（最大矩形面积）。

这道题的官方难度是Hard，点赞3581，反对只有80，通过率在34.7%左右。从通过率上来看，难度其实还可以，并没有特别大，但是这道题的点赞比很高，说明题目的质量很好。实际上也的确如此，这题非常经典，我个人也非常推荐。建议大家有能力的都做一下本题，一定会很有收获。

题意

假设我们有一系列宽度相同都为1的矩形竖直地摆放在一起，请问摆放而成的这个图案所能围成的最大矩形的面积是多少？

比如上图当中，我们有6个矩形，它们的宽度都是1。我们能找到的最大矩形应该是中间5和6围成的矩形：

题目给定一个含有若干个整数的数字，表示这些矩形的高度，要求返回能找到的面积最大的矩形的面积。

样例

Input: [2,1,5,6,2,3]
Output: 10

区间求最值

拿到手应该能感受到这题的难度，我们一上来的确没有什么太好的思路，题目也比较明确，没有太多可以分析的入手点。所以我们可以先来思考一下最简单的解法。

最简单的解法就是找出能够围成的所有矩形，然后比较它们之间的面积，得出其中的最大面积。我们很容易可以想到可以遍历矩形的起始位置，这样就得到了矩形的宽。至于矩形的长也很简单，就是选定的这个区间段里的最低高度。

我们可以做一个小小的思路转换，假设这些矩形都是木条，我们是要选出木条来制作木桶。那么根据木桶效应，木桶围成的水的高度取决于最短的那根木条，同样围成矩形的面积的高取决于这些矩形当中最矮的那个。也就是说，当我们确定了区间之后，我们只需要找到区间里最小的数就可以了。所以这题就转化成了区间求最值的问题，比如上图当中，如果我们选择最后三个矩形，那么它的高度就是2。

我们假设一共有n个长条矩形可供选择，那么我们可以选出的首尾组合就是$C_n^2$，大概是n的平方量级个区间。对于每个区间，我们需要遍历它们中的元素获取最小值，这需要$O(n)$的遍历时间，所以整体的复杂度应该在 O ( n 3 ) O(n^3)