Lower-Upper Decomposition 上下分解算法

Lower-Upper Decomposition 上下分解算法

上下分解（Lower-Upper Decomposition）是一种常用的矩阵分解方法，用于解决线性方程组和矩阵求逆等问题。在本文中，我们将介绍上下分解算法的原理，并使用 Python 实现。

1. 算法原理
   上下分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵（Lower Triangular Matrix）和一个上三角矩阵（Upper Triangular Matrix）的乘积。设 A 为一个 n × n 的矩阵，上下分解可以表示为 A = LU，其中 L 是一个下三角矩阵，U 是一个上三角矩阵。

具体的上下分解算法可以通过高斯消元法来实现。算法的步骤如下：

• 初始化 L 为单位下三角矩阵，U 为原始矩阵 A 的副本。
• 对于每一列 j，从第 j+1 行到第 n 行，执行以下操作：
  • 计算乘法因子 m = U[i][j] / U[j][j]，其中 i 表示当前行数。
  • 更新 L[i][j] 的值为 m。
  • 更新 U[i][j] 到 U[i][n] 的值为 U[i][j] - m * U[j][k]，其中 k 表示当前列数。

最终得到的 L 和 U 即为上下分解的结果。

2. Py