HDU 3501 Calculation 2 (欧拉函数应用)

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本文介绍了一道算法题的解决方法，该题要求计算小于N的所有与N不互质的正整数之和。文章详细分析了如何通过已知的与N互质的数的和来间接求解目标问题，并提供了完整的代码实现。

Calculation 2

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
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Problem Description

Given a positive integer N, your task is to calculate the sum of the positive integers less than N which are not coprime to N. A is said to be coprime to B if A, B share no common positive divisors except 1.

Input

For each test case, there is a line containing a positive integer N(1 ≤ N ≤ 1000000000). A line containing a single 0 follows the last test case.

Output

For each test case, you should print the sum module 1000000007 in a line.

Sample Input

Sample Output

0
2

Author

GTmac

Source

2010 ACM-ICPC Multi-University Training Contest（7）——Host by HIT

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3501

题目大意：求小于n的与n不互质的数的和

题目分析：考虑到小于n的与n互质的数的和很好求，再用总和减掉即可，小于n的与n互质的数的和等于n*phi[n] / 2，phi[n]为n对应的欧拉函数值，证明如下：
设gcd(n, i) == 1，则有gcd(n, n - i) == 1
这里可以反证：假设存在一个k != 1，gcd(n, n - i) == k，则有n%k == 0且(n - i) % k == 0即(n % k - i % k) % k == 0，得到(i % k) % k == 0
因此i必然是k的倍数，所以gcd(n, i) == k，这与gcd(n, i) == 1冲突，因此对于gcd(n, i) == 1，有gcd(n, n - i) == 1，所以与n互质的两对数相加为n，又与n互质的总个数为phi[n]，注意这里不会出现n == 2*i 的情况因为出了2，phi[i]都为偶数
所以小于n的与n互质的数的和等于n*phi[n] / 2，所以最后答案为(n * (n - 1) / 2 - n*phi[n] / 2) % MOD，求单个phi的复杂度为sqrt((n)

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define ll long long
int const MOD = 1e9 + 7;

int phi(int x)
{
    int res = x;
    for(int i = 2; i * i <= x; i++)
    {
        if(x % i == 0) 
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while(x % i == 0) 
                x /= i;
        }
    }
    if(x > 1) 
        res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF && n)
    {
        ll sum = (ll) n * (n - 1) / 2;
        ll copsum = (ll) n * phi(n) / 2;
        ll ans = sum - copsum;
        printf("%I64d\n", ans % MOD);
    }
}