【唐叔学算法】第15天：动态规划-构建复杂问题的最优解之路

大家好，唐叔又来了。今天我们要探讨的是一个在算法设计中极为重要且强大的工具——动态规划（Dynamic Programming, DP）。它通过将大问题分解为更小的问题，并保存这些子问题的答案以避免重复计算，从而有效地解决了许多优化问题。让我们一起揭开动态规划的面纱，探索其在Java编程中的应用。

一、什么是动态规划？

定义

动态规划是一种求解最优化问题的方法，其核心思想是把原问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适用于动态规划求解的问题经分解得到的子问题往往不是相互独立的，而是存在重叠子问题和最优子结构性质。

• 最优子结构：如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，则称该问题具有最优子结构性质。
• 重叠子问题：当递归算法反复求解相同的子问题时，我们说这个问题包含了重叠子问题。

它通常用于优化问题，通过存储子问题的解（通常在一个表格中），从而避免重复计算。

应用场景

• 最优化问题：如最长公共子序列、最大子序和等。
• 计数问题：如不同的路径、组合数等。
• 决策问题：如硬币找零、背包问题等。

算法实现

使用动态规划的关键在于定义状态转移方程，即如何从前一步的状态推导出下一步的状态。通常有两种实现思路：

1. 自底向上（Bottom-Up）：从最简单的基础情况开始逐步构建最终结果。
2. 自顶向下（Top-Down）：利用记忆化搜索（Memoization），先尝试解决问题，遇到已经解决过的子问题时直接返回之前存储的结果。

具体实现步骤：

1. 定义状态：确定DP数组的含义，即每个元素代表什么。
2. 状态转移方程：找出当前状态如何通过前面的状态推导出来。
3. 初始化状态：确定DP数组的初始值。
4. 确定输出：根据DP数组推导出最终答案。

注意事项

• 特性确定：确保问题具有最优子结构和重叠子问题的特性。
• 核心分析：确定状态和状态转移方程，这是动态规划的核心。
• 存储结构：注意存储结构的选择，如一维数组或多维数组。
• 边界条件：确定初始值，例如数组的第一个元素或矩阵的第一行/列。
• 状态表示：明确每个状态代表的意义，比如dp[i]表示前i个元素的最大和。
• 空间优化：有时可以仅保留必要的历史信息，减少不必要的内存消耗。

二、实战解析

入门题：70. 爬楼梯

题目链接：70. 爬楼梯
题目描述：假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才