【唐叔在学习】第三天：分治-拆解难题的艺术-优快云博客

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引言

在日常的编程工作中，我们经常会遇到一些看似复杂、难以入手的问题。这时，分治算法便成为了解决这些问题的一把利剑。分治算法，如同一位经验丰富的工匠，将复杂问题切割成小块，逐一攻克，最终拼接出完美的解决方案。今天，就让我们一起探索分治算法的奥秘，并通过一些实际的例子来感受它的力量吧！

什么是分治算法？

基本概念

分治算法是一种重要的算法设计技术，其核心思想是“分而治之”。具体来说，分治算法包含三个主要步骤：

分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立的子问题。
解决（Conquer）：递归地解决这些子问题。如果子问题足够小，那么直接求解。
合并（Combine）：将子问题的解合并成原问题的解。

如何使用分治算法

使用分治算法的关键在于找到合适的方式将问题分解，并且确保分解后的子问题是原问题的简化版。此外，还需要定义好基准情形，即问题足够简单时的直接解法。

适用场合

当遇到以下情况时，分治算法可能是一个不错的选择：

问题可以被自然地划分为若干个独立的子问题。
子问题的解可以有效地组合起来解决原始问题。
问题的规模缩小到一定程度后，可以直接求解。

应用场景

分治算法特别适合于解决那些可以通过分解成多个相同类型的小问题来解决的任务，常见的应用场景包括：

排序算法：快速排序、归并排序等。
搜索问题：二分查找。
数学问题：大整数乘法、矩阵乘法等。
数据结构操作：二叉树的各种遍历、平衡树的旋转等。

LeetCode实战：分治算法应用

入门题目 - 88. 合并两个有序数组

题目描述

给定两个有序整数数组 nums1 和 nums2，其中 nums1 的长度为 m，nums2 的长度为 n。假设 nums1 有足够的空间（空间大小至少为 m + n）来保存 nums2 中的元素。将 nums2 合并到 nums1 中，使合并后的数组仍然有序。

Java代码实现

public void merge(int[] nums1, int m, int[] nums2, int n) {
    int p1 = m - 1, p2 = n - 1, p = m + n - 1;
    while (p1 >= 0 && p2 >= 0) {
        nums1[p--] = (nums1[p1] > nums2[p2]) ? nums1[p1--] : nums2[p2--];
    }
    while (p2 >= 0) {
        nums1[p--] = nums2[p2--];
    }
}

解题思路

使用双指针从后向前合并两个数组，这样可以避免在 nums1 中的元素被覆盖。

中等难度题目 - 53. 最大子序和

题目描述

给定一个整数数组 nums，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

Java代码实现

public class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        return divide(nums, 0, nums.length - 1);
    }

    private int divide(int[] nums, int left, int right) {
        if (left == right) {
            return nums[left];
        }

        int mid = (left + right) >> 1;
        int leftMax = divide(nums, left, mid);
        int rightMax = divide(nums, mid + 1, right);
        int crossMax = crossSum(nums, left, right, mid);

        return Math.max(Math.max(leftMax, rightMax), crossMax);
    }

    private int crossSum(int[] nums, int left, int right, int mid) {
        if (left == right) {
            return nums[left];
        }

        int sum = 0;
        int leftMax = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = mid; i >= left; i--) {
            sum += nums[i];
            if (sum > leftMax) {
                leftMax = sum;
            }
        }

        sum = 0;
        int rightMax = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = mid + 1; i <= right; i++) {
            sum += nums[i];
            if (sum > rightMax) {
                rightMax = sum;
            }
        }

        return leftMax + rightMax;
    }
}

解题思路

这个问题可以通过动态规划来解决，但使用分治法也可以提供一种不同的视角。我们首先将数组分为左右两部分，分别计算这两部分的最大子序和。但是，我们还需要考虑跨越中间点的最大子序和，这是因为可能存在一个子序列同时包含了左半部分的末尾和右半部分的开头。因此，我们需要额外计算这个跨区间的最大和，并与左右两部分的结果比较，最终返回三者中的最大值。